Question

12．已知地球半径为R，引力常数为G，一颗人造卫星的质量为M，离地面的高度为4R，卫星做匀速圆周运动的运行周期为T．
求：
（1）地球的质量；
（2）卫星环绕地球运行的速率；
（3）地球表面的重力加速度．

Answer 1

分析 根据万有引力定律公式求出地球对卫星的万有引力大小．结合万有引力提供向心力求解．

解答 解：（1）卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则由牛顿第二定律得：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
r=R+4R=5R
M=$\frac{50{{0π}^{2}R}^{3}}{{GT}^{2}}$
（2）根据圆周运动的知识得：
v=$\frac{2πr}{T}$=$\frac{10πR}{T}$
（3）根据地球表面重力与万有引力相等得：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$=$\frac{50{0π}^{2}R}{{T}^{2}}$
答：（1）地球的质量是$\frac{50{{0π}^{2}R}^{3}}{{GT}^{2}}$；
（2）卫星环绕地球运行的速率是$\frac{10πR}{T}$；
（3）地球表面的重力加速度是$\frac{50{0π}^{2}R}{{T}^{2}}$．

点评 万有引力提供圆周运动向心力，万有引力等于星球表面的重力是万有引力应用的两个常用入手点，我们应该关注．