题目内容

1．如图所示，有一可绕竖直中心轴转动的水平圆盘，原长为L、劲度系数为k的轻弹簧一端固定于轴O上，另一端连接质量为m的小物块A．当圆盘静止时，把弹簧拉长后将物块放在圆盘上，是物块能保持静止的弹簧的最大长度为$\frac{5L}{4}$，已知最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，转动过程中弹簧伸长始终在弹性限度内，则：
（1）若开始时弹簧处于原长，当圆盘的转速为多大时，物块A将开始滑动？
（2）若物块与圆盘一起匀速转动的周期为T，物块恰好不受摩擦力作用，此时弹簧的伸长量应为多大？
（3）若弹簧的长度为$\frac{3L}{2}$时，物块与圆盘能一起匀速转动，试求转动角速度的可能值．

分析 （1）物体A随圆盘转动的过程中，若圆盘转速较小，由静摩擦力提供向心力；当圆盘转速较大时，弹力与摩擦力的合力提供向心力．物体A刚开始滑动时，弹簧的弹力为零，静摩擦力达到最大值，由静摩擦力提供向心力，根据牛顿第二定律求解角速度ω0．
（2）当周期为T时，由弹力提供向心力，由牛顿第二定律和胡克定律求解弹簧的伸长量x．
（3）若弹簧的长度为$\frac{3L}{2}$时，物块与圆盘能一起匀速转动，结合摩擦力可能的方向分析解答即可．

解答 解：
（1）开始时物块处于静止状态，则：μmg=$\frac{kL}{4}$
圆盘开始转动时，A所受静摩擦力提供向心力，若滑块不滑动，则有μmg≥mLω02，
当μmg=mLω02时，即当$\frac{1}{4π}•\sqrt{\frac{k}{m}}$时，物体A开始滑动．
（2）设弹簧伸长x，则有$kx=m（\frac{2π}{T}）^{2}（L+x）$
解得：$x=\frac{4{π}^{2}mL}{k{T}^{2}-4{π}^{2}m}$
（3）当角速度最小时，摩擦力的方向与弹簧的拉力方向相反，则：
$\frac{kL}{2}-{f}_{m}=m{ω}_{1}^{2}•\frac{3L}{2}$
所以：${ω}_{1}=\sqrt{\frac{k}{6m}}$
当角速度最大时，摩擦力的方向与弹簧的弹力的方向相同，则：$\frac{kL}{2}+{f}_{m}=m{ω}_{1}^{2}•\frac{3L}{2}$
解得：${ω}_{2}=\sqrt{\frac{k}{2m}}$．
所以角速度需要满足：$\sqrt{\frac{k}{6m}}≤ω≤\sqrt{\frac{k}{2m}}$
答：（1）若开始时弹簧处于原长，当圆盘的转速为$\frac{1}{4π}•\sqrt{\frac{k}{m}}$时，物块A将开始滑动；
（2）若物块与圆盘一起匀速转动的周期为T，物块恰好不受摩擦力作用，此时弹簧的伸长量应为$\frac{4{π}^{2}mL}{k{T}^{2}-4{π}^{2}m}$；
（3）若弹簧的长度为$\frac{3L}{2}$时，物块与圆盘能一起匀速转动，转动角速度的可能值为：$\sqrt{\frac{k}{6m}}≤ω≤\sqrt{\frac{k}{2m}}$．

点评 当物体相对于接触物体刚要滑动时，静摩擦力达到最大，这是经常用到的临界条件．本题关键是分析物体的受力情况．

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