Question

4．如图所示，两根光滑的平行金属导轨MN、PQ处于同一水平面内，相距L=0.5m，导轨的左端用R=3Ω的电阻相连，导轨电阻不计，导轨上跨接一电阻r=1Ω的金属杆ab，质量m=0.2kg，整个装置放在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B=2T，现对杆施加水平向右的拉力F=2N，使它由静止开始运动，求：
（1）杆能达到的最大速度多大？
（2）若已知杆从静止开始运动至最大速度的过程中，R上总共产生了10.2J的电热，则此过程中金属杆ab的位移多大？
（3）接（2）问，此过程中流过电阻R的电量？经历的时间？

Answer 1

分析 （1）杆速度最大时，拉力与安培力平衡，根据安培力表达式求出杆的最大速度；
（2）拉力F做的功一是转变为杆的动能和电阻R上产生的电热，据此计算杆ab位移的大小；
（3）q=$\frac{△Φ}{R+r}$求解通过电阻R的电量，安培力的冲量I=BILt=Bqt，根据动量定理求此过程经历的时间．

解答 解：（1）由题意得，当杆速度最大时，杆水平方向受到的拉力与安培力平衡，即满足：
F=BIL
又根据欧姆定律可得I=$\frac{E}{R+r}=\frac{BL{v}_{max}}{R+r}$
代入可得：$F=\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{max}}{R+r}$
可得杆的最大速度为：${v}_{max}=\frac{F（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}=\frac{2（3+1）}{{2}^{2}×0．{5}^{2}}m/s=8m/s$
（2）根据能量转化和守恒定律有，拉力F对杆做的功等于杆获得的动能和电路上产生的电热之和，故有：
因为R和r串联，所以有：$\frac{{Q}_{R}}{R}=\frac{{Q}_{r}}{r}$
可得：${Q}_{r}=\frac{r}{R}{Q}_{R}=\frac{1}{3}10.2J=3.4J$
所以有：Fs=$\frac{1}{2}m{v}^{2}+{Q}_{R}+{Q}_{r}$
可得杆产生的位移：$s=\frac{\frac{1}{2}m{v}^{2}+{Q}_{R}+{Q}_{r}}{F}=\frac{\frac{1}{2}×0.2×{8}^{2}+10.2+3.4}{2}m$=10m
（3）流过电阻的电量为：
$q=I•t=\frac{△Φ}{R+r}=\frac{BLs}{R+r}=\frac{2×0.5×10}{3+1}C=2.5C$
该过程杆在水平方向由动量定理有：
Ft-BILt=mv-0
又It=q
所以有：Ft-qLB=mv
所以作用时间为：t=$\frac{mv+qLB}{F}=\frac{0.2×8+2.5×0.5×2}{2}s=2.05s$
答：（1）杆能达到的最大速度为8m/s；
（2）若已知杆从静止开始运动至最大速度的过程中，R上总共产生了10.2J的电热，则此过程中金属杆ab的位移为10m；
（3）此过程中流过电阻R的电量为2.5C，经历的时间为2.05s．

点评 本题一要能正确分析杆的受力情况和运动情况，此过程类似于汽车的起动；二要熟记感应电量表达式量q=$\frac{△Φ}{R+r}$，通过此式可以求解杆滑行的距离和时间．