Question

17．如图所示，为一单摆的共振曲线，摆球的质量为0.2kg．
（1）该单摆的摆长约为多少？
（2）共振时单摆的振幅多大？
（3）共振时摆球的最大速度和最大回复力的大小各为多少？（g=10m/s²）

Answer 1

分析 （1）根据共振图线得出单摆的固有频率，从而得出固有周期，结合单摆的周期公式求出单摆的摆长．
（2）由图即可读出单摆的振幅．
（3）根据动能定理，结合几何关系求出摆球的最大速度．根据受力分析求出摆球的回复力．

解答 解：（1）由共振曲线可知，单摆的固有频率为0.5Hz，固有周期为2s；
根据T=$2π\sqrt{\frac{l}{g}}$，
得：l=$\frac{g{T}^{2}}{4{π}^{2}}=\frac{4}{4}m=1m$．
（2）由图象可知，共振时，振幅为A=8cm，
（3）设单摆偏离竖直方向的最大偏角为θ，则当摆球摆到最低点时，速度最大，由机械能守恒（或动能定理）有：
$\frac{1}{2}m{{v}_{m}}^{2}=mgl（1-cosθ）$；
由余弦定理求得：$cosθ=\frac{{l}^{2}+{l}^{2}-{A}^{2}}{2{l}^{2}}=1-\frac{{A}^{2}}{2{l}^{2}}$；
从而最大速度为：${v}_{m}=\frac{A}{l}\sqrt{gl}≈0.25m/s$．
摆球运动到最高点时，摆球的回复力最大，此时：
mgsinθ=ma_m
所以最大回复力：${F}_{回}=m{a}_{m}=mgsinθ=mg•\frac{A}{l}=0.2×10×\frac{0.08}{1}=0.16$N．
答：（1）该单摆的摆长约为1m．
（2）摆球的振幅是8cm；
（3）共振时摆球的最大速度大小是0.25m/s，最大回复力是0.16N．

点评 本题考查了单摆与动能定理和牛顿第二定律的综合运用，知道共振产生的条件，以及知道摆球圆周运动向心力的来源．