题目内容
如图所示，两根相距为d的足够长的平行金属导轨位于水平的xy平面内，一端接有阻值为R的电阻．在x＞0的一侧存在沿垂直纸面方向的均匀磁场，磁感强度B随x的增大而增大，B=kx，式中的k是一常量，一金属直杆与金属导轨垂直，可在导轨上无摩擦的滑动，当t=0时位于x=0处，速度为v0，方向沿x轴的正方向．在运动过程中，有一大小可调节的外力F作用于金属杆以保持金属杆的加速度恒定，大小为a，方向沿x轴的负方向．设除外接的电阻R外，所有其它电阻都可以忽略．问：（1）该回路中的感应电流持续的时间多长？
?（2）当金属杆的速度大小为v0/2时，回路中的感应电动势有多大？
分析：（1）回路中有感应电流的时间是向右做匀减速直线运动到零然后返回做匀加速直线运动到离开磁场的时间，结合运动学公式求出感应电流持续的时间．
（2）根据匀变速直线运动的速度位移公式求出速度减为
v0经过的位移，从而得出此时的磁感应强度大小，结合切割产生的感应电动势公式求出回路中的感应电动势大小．
（2）根据匀变速直线运动的速度位移公式求出速度减为
| 1 |
| 2 |
解答：解：（1）金属杆在导轨上先是向右做加速度为a的匀减速直线运动，运动到导轨右方最远处速度为零．然后，又沿导轨向左做加速度为a的匀加速直线运动．当过了原点O后，由于已离开了磁场区，故回路中不再有感应电流．因而该回路中感应电流持续的时间就等于金属杆从原点O向右运动到最远处，再从最远处向左运动回到原点O的时间，这两段时间是相等的．以t1表示金属杆从原点O到右方最远处所需的时间，则由运动学公式得 v0-at1=0，
?由上式解出t1，就得知该回路中感应电流持续的时间 T=
．
?（2）以x1表示金属杆的速度变为v1=
v0时它所在的x坐标，对于匀减速直线运动有
?v12=v02-2ax1，
?以v1=
v0代入就得到此时金属杆的x坐标，即
?x1=
．
?由题给条件就得出此时金属杆所在处的磁感应强度B0=
?因而此时由金属杆切割磁感线产生的感应电动势
?E1=B0v1l=
．
答：（1）该回路中的感应电流持续的时间为
．
（2）回路中的感应电动势为
．
?由上式解出t1，就得知该回路中感应电流持续的时间 T=
| 2v0 |
| a |
?（2）以x1表示金属杆的速度变为v1=
| 1 |
| 2 |
?v12=v02-2ax1，
?以v1=
| 1 |
| 2 |
?x1=
| 3v02 |
| 8a |
?由题给条件就得出此时金属杆所在处的磁感应强度B0=
| 3kv02 |
| 8a |
?因而此时由金属杆切割磁感线产生的感应电动势
?E1=B0v1l=
| 3kv03d |
| 16a |
答：（1）该回路中的感应电流持续的时间为
| 2v0 |
| a |
（2）回路中的感应电动势为
| 3kv03d |
| 16a |
点评：解决本题的关键知道回路中有感应电流的过程，结合切割产生的感应电动势公式、运动学公式进行求解．
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