Question

（2005?海淀区一模）如图所示，两根相距为d足够长的平行光滑金属导轨位于水平面的xoy平面内，一端接有阻值为R的电阻．在x＞0的一侧存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B，一电阻为r的金属直杆与金属导轨垂直放置并接触良好，金属杆可在导轨上滑动．开始时，金属直杆位于x=0处，给金属杆一大小为v₀、方向沿x轴正方向的初速度．在运动过程中有一大小可调节的外力F作用在金属杆上，使金属杆保持大小为a、方向沿x轴负方向的恒定加速度运动．金属轨道电阻忽略不计．
（1）该回路中存在感应电流的时间多长？
（2）当金属杆的速度大小为v₀/2时，回路中的电流有多大？
（3）若金属杆质量为m，试推导出外力F随时间t变化的关系．

Answer 1

分析：（1）由题得知，金属杆做匀变速运动，由运动学公式可求出存在感应电流的时间．
（2）根据法拉第电磁感应定律与闭合电路欧姆定律，可求出电流的大小．
（3）由牛顿第二定律与运动学公式，可列出外力与时间的关系式．

解答：解：（1）金属杆一大小为v₀、方向沿x轴正方向的初速度．接着向右匀减速运动，当速度为零后，向左匀加速运动，
所以回路中存在感应电流的时间t=

2v0

a

，
（2）根据法拉第电磁感应电动势，则有E=

1

2

Bdv₀，
由闭合电路欧姆定律，则有I=

Bdv0

2(R+r)

，
（3）根据牛顿第二定律与运动学公式，
当金属杆向x正方向运动时，则有：F=ma-

B2d2v0

R+r

+

B2d2at

R+r

（0≤t≤

v0

a

）
当金属杆向x负方向运动时，则有：F=ma++

B2d2at

R+r

（

v0

a

≤t≤

2v0

a

）
答：（1）该回路中存在感应电流的时间=

2v0

a

；
（2）当金属杆的速度大小为

v0

2

时，回路中的电流有I=

Bdv0

2(R+r)

；
（3）若金属杆质量为m，则推导出外力F随时间t变化的关系：当金属杆向x正方向运动时，则有：F=ma-

B2d2v0

R+r

+

B2d2at

R+r

（0≤t≤

v0

a

）
当金属杆向x负方向运动时，则有：F=ma++

B2d2at

R+r

（

v0

a

≤t≤

2v0

a

）．

点评：本题是电磁感应与运动学和动力学知识的综合应用，要防止只研究金属杆沿x轴正方向运动过程，造成漏解．