Question

11．一细杆与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细杆一起在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量m=0.5kg，水的重心到转轴的距离l=50cm．
（1）若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；
（2）若在最高点水桶的速率v=3m/s，求水对桶底的压力．

Answer 1

分析 （1）以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，根据牛顿运动定律列式求解；
（2）桶中的水为研究对象，对它进行受力分析，找出它做圆周运动所需向心力的来源，根据牛顿运动定律建立方程即解．

解答 解：（1）以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水
的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小．
此时有：mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
则所求的最小速率为：v₀=$\sqrt{gr}$=$\sqrt{10×0.5}$=2.42m/s
（2）在最高点，水所受重力mg的方向竖直向下，此时水具有向下的向心加速度，处于失重状态，其向心加速度的大小由桶底对水的压力和水的重力决定．
由向心力公式F=m$\frac{{v}^{2}}{r}$知，当v增大时，物体做圆周运动所需的向心力也随之增大，由于v=3m/s＞v₀=2.42m/s，因此，当水桶在最高点时，水所受重力已不足以水做圆周运动所需的向心力，此时桶底对水有一向下的压力，设为F_N，则由牛顿第二定律有：
F_N+mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
即F_N=m$\frac{{v}^{2}}{r}$-mg
代入数据可得F_N=2.6N．
答：（1）若在最高点水不流出来，桶的最小速率为2.42m/s；
（2）若在最高点水桶的速率v=3m/s，水对桶底的压力为2.6N．

点评 解决圆周运动的动力学问题，关键分析物体受力，确定向心力的来源，再运用牛顿第二定律列式求解即可，注意弹力的方向，对绳模型注意最高点只能是向下的弹力．