Question

20．如图所示为水上游乐园的设施，由弯曲滑道、竖直平面内的圆形滑道，水平滑道及水池组成，桶形圆形滑道外侧半径R=2m，圆形滑道的最低点的水平入口B和水平出口B′相互错开，为保证安全，在圆形滑道内运动时，要求紧贴外侧滑行，水面离水平轨道高度h=5m，现游客从滑道A点由静止滑下，游客可视为质点，不计一切阻力，重力加速度g取10m/s²，求：
（1）起滑点A至少离水平滑道多高？
（2）为了保证游客安全，在水池中放有长度为L=5m的安全气垫MN，其厚度不计，满足（1）的游客恰好在M端，要使游客能安全落在气垫上，安全滑下点A距水平滑道的高度取值范围是多少？

Answer 1

分析 （1）对游客在圆轨道的最高点应用牛顿第二定律求得速度，再由机械能守恒即可求得A的高度；
（2）根据（1）求得游客在C点的速度，进而由平抛运动规律求得M点距水池左侧的距离，从而得到平抛运动的水平位移，进而得到C点的速度范围，再由机械能守恒即可求得高度范围．

解答 解：（1）沿圆形外侧滑道滑过最高点，设在最高点的速度为v，那么由牛顿第二定律可得：$mg≤\frac{m{v}^{2}}{R}$；
又有整个过程不计阻力，则只有重力做功，故机械能守恒，设起滑点A离水平滑道高H，则有：$mgH=2mgR+\frac{1}{2}m{v}^{2}≥\frac{5}{2}mgR$；
所以，$H≥\frac{5}{2}R=5m$，即起滑点A至少离水平滑道5m高；
（2）水面离水平轨道高度h=5m，故游客做平抛运动的时间为：$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=1s$；
当h=5m时，游客在水平轨道上的速度为v₁，那么由机械能守恒可得：$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}=mgH$
解得：${v}_{1}=\sqrt{2gH}=10m/s$；
所以，M点距水池左侧的距离范围为：x₁=v₁t=10m，
那么，要使游客能安全落在气垫上，则在平抛运动中水平位移为：10m≤x≤15m
所以，在水平轨道上的速度范围为：10m/s≤v′≤15m/s，
则设安全滑下点A距水平滑道的高度为H′，由机械能守恒可得：$mgH′=\frac{1}{2}mv{′}^{2}$，
所以，$H′=\frac{v{′}^{2}}{2g}$，则有：5m≤H′≤11.25m；
答：（1）起滑点A至少离水平滑道5m；
（2）为了保证游客安全，在水池中放有长度为L=5m的安全气垫MN，其厚度不计，满足（1）的游客恰好在M端，要使游客能安全落在气垫上，安全滑下点A距水平滑道的高度取值范围是5m～11.25m．

点评 在物体运动学问题中，一般先对物体进行受力分析求得合外力，进而由牛顿第二定律得到加速度，从而由得到物体运动状态．