题目内容
如图所示，在光滑水平面上有一质量为M的长木板，长木板上有一质量为m的小物块，它与长木板间的动摩擦因数为μ．开始时，长木板与小物块均靠在与水平面垂直的固定挡板处，某时刻它们以共同的速度v向右运动，当长木板与右边的固定竖直挡板碰撞后，其速度的大小不变、方向相反，以后每次的碰撞均如此．设左右挡板之间的距离足够长，且M＞m．（1）要想物块不从长木板上落下，则长木板的长度L应满足什么条件？
（2）若上述条件满足，且M=2kg，m=1kg，v=10m/s，求整个系统在第5次碰撞前损失的所有机械能．
【答案】分析：（1）由于小物块与长木板存在摩擦力，系统的机械能不断减少，所以小物块第一次与挡板碰撞后两者相对速度最大，第1次小物块若不能从长木板上掉下，往后每次相对滑动的距离会越来越小，更不可能掉下．第一次碰撞后，物块恰好不从木板上掉下时，两者速度相同，而且物块恰好滑到木板的另一端，根据动量守恒定律求出第一次碰撞后两者的共同速度，由能量守恒定律求出长木板的长度L最小值．
（2）根据动量守恒定律求出4次碰撞后物块与木板的共同速度，寻找规律，再求解整个系统在第5次碰撞前损失的所有机械能．
解答：解：（1）设第1次碰撞后小物块与长木板共同运动的速度为v1，第n次碰撞后小物块与长木板共同运动的速度为vn．每次碰撞后，由于两挡板的距离足够长，物块与长木板都能达到相对静止，第1次若不能掉下，往后每次相对滑动的距离会越来越小，更不可能掉下．由动量守恒定律和能量守恒定律有：
（M-m）v=（M+m）v1
μmgs=
（m+M）v2-
（M+m）v12
解得：s=
故L应满足的条件是：L≥s=
（2）第2次碰撞前有：
（M-m）v=（M+m）v1
第3次碰撞前有：（M-m）v1=（M+m）v2
第n次碰撞前有：（M-m）vn-2=（M+m）vn-1
所以vn-1=（
）n-1v
则第5次碰撞前有：v4=（
）4v
故第5次碰撞前损失的总机械能为：△E=
（M+m）v2-
（M+m）v42
代入数据解得：△E=149.98J．
答：
（1）要想物块不从长木板上落下，长木板的长度L应满足的条件是：L≥
．
（2）整个系统在第5次碰撞前损失的所有机械能是149.98J．
点评：本题采用数学归纳法研究多次碰撞过程遵守的规律，考查分析和处理复杂运动过程的能力．
（2）根据动量守恒定律求出4次碰撞后物块与木板的共同速度，寻找规律，再求解整个系统在第5次碰撞前损失的所有机械能．
解答：解：（1）设第1次碰撞后小物块与长木板共同运动的速度为v1，第n次碰撞后小物块与长木板共同运动的速度为vn．每次碰撞后，由于两挡板的距离足够长，物块与长木板都能达到相对静止，第1次若不能掉下，往后每次相对滑动的距离会越来越小，更不可能掉下．由动量守恒定律和能量守恒定律有：
（M-m）v=（M+m）v1
μmgs=
（m+M）v2-（M+m）v12解得：s=
故L应满足的条件是：L≥s=
（2）第2次碰撞前有：
（M-m）v=（M+m）v1
第3次碰撞前有：（M-m）v1=（M+m）v2
第n次碰撞前有：（M-m）vn-2=（M+m）vn-1
所以vn-1=（
）n-1v则第5次碰撞前有：v4=（
）4v故第5次碰撞前损失的总机械能为：△E=
（M+m）v2-（M+m）v42代入数据解得：△E=149.98J．
答：
（1）要想物块不从长木板上落下，长木板的长度L应满足的条件是：L≥
．（2）整个系统在第5次碰撞前损失的所有机械能是149.98J．
点评：本题采用数学归纳法研究多次碰撞过程遵守的规律，考查分析和处理复杂运动过程的能力．
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