Question

1．如图所示CDPD′M是螺旋光滑绝缘轨道，半径为R₁=2m的一段圆弧CD与半径为R₂=1m的圆O相切于最低点D，D′M是与圆轨道相切于D′点的水平轨道，在M端固定一个水平放置的轻弹簧，其中PC与竖直方向成 θ=53°．在半径为R₂的圆内区域有垂直纸面向外的匀强磁场，在圆O的竖直直径POD的右方区域存在一个水平向右，大小为E=10N/C的匀强电场．现有一质量为m=0.04kg、电量为q=0.2C的带电小球，从离水平轨道D′M 高为h=1.6m的A点以某一水平初速度抛出，刚好沿CD弧的切线方向无碰撞地进入CD轨道，经D点进入竖直圆轨道之后，刚好能通过圆轨道的最高点P，之后从最低点D′点进入水平轨道D′M并压缩弹簧，在距离D′点为L=2m 的地方速度减为零．不计带电小球电量对电场的影响，g=10m/s²，（sin53°=0.8，cos53°=0.6）求：
（1）带电小球平抛的初速度v₀；
（2）磁感应强度 B； 
（3）带电小球压缩弹簧的最大弹性势能．

Answer 1

分析 （1）小球做平抛运动，将C点的速度分解，即可求出初速度；
（2）小球在最高点受到重力和洛伦兹力的作用，合力恰好提供向心力，由此即可求出磁感应强度；
（3）带电小球压缩弹簧的过程中小球的机械能与电势能转化为弹簧的弹性势能，由功能关系即可求出最大弹性势能．

解答 解：（1）C点的高度：h_C=R₁（1-cos53°）=0.4R₁=0.4×2=0.8m
小球做平抛运动的过程中下降的高度：△h=h-h_C=1.6-0.8=0.8m
小球到达C时沿竖直方向的分速度：${v}_{yc}=\sqrt{2g△h}=\sqrt{2×10×0.8}=4$m/s
将小球在C点的速度分解如图，则：tan53°=$\frac{{v}_{yc}}{{v}_{0}}$
所以：${v}_{0}=\frac{{v}_{yc}}{tan53°}=3$m/s
（2）小球从A到P的过程中电场力做的功是0，而洛伦兹力不做功，由动能定理得：
$-mg（2{R}_{2}-h）=\frac{1}{2}m{v}_{p}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入数据得：v_p=1m/s
小球恰好过P点，所以在P点小球恰好对轨道的压力为0，根据重力和洛伦兹力提供向心力得：
$mg-qvB=\frac{m{v}_{p}^{2}}{{R}_{1}}$
代入数据得：B=1.8T
（3）带电小球压缩弹簧的过程中小球的机械能与电势能转化为弹簧的弹性势能，由功能关系得：
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+mgh+qE•L={E}_{P}$
代入数据得：E_P=4.82J
答：（1）带电小球平抛的初速度是3m/s； （2）磁感应强度是1.8T；（3）带电小球压缩弹簧的最大弹性势能是4.82J．

点评 该题将平抛运动、竖直平面内的圆周运动与小球在复合场中的运动相结合，考查到的知识点比较多，要从中理清头绪，正确对小球减小受力分析，然后结合运动的过程列出相应的公式进行解答．