Question

8．如图所示，质量为m的小球从A点由静止开始，沿竖直平面内固定光滑的$\frac{1}{4}$圆弧轨道AB滑下，从B端水平飞出，恰好落到斜面BC的底端．已知$\frac{1}{4}$圆弧轨道的半径为R，OA为水平半径，斜面倾角为θ，重力加速度为g．则（　　）

• A． 小球下滑到B点时对圆弧轨道的压力大小为2mg
• B． 小球下滑到B点时的速度大小为$\sqrt{2gR}$
• C． 小球落到斜面底端时的速度方向与水平方向的夹角为2θ
• D． 斜面的高度为4Rtan²θ

Answer 1

分析 小球在光滑圆弧轨道上运动时，轨道的支持力不做功，只有重力做功，其机械能守恒．根据机械能守恒定律列式即可求解小球下滑到B点时的速度；小球经过B点时，由轨道的支持力和重力的合力提供向心力，由牛顿第二、第三定律求解小球对轨道的压力．小球离开B点后做平抛运动，落在C点时，竖直位移与水平位移之比等于tanθ，由此求出平抛时间，再求斜面的高度．

解答 解：AB、设小球通过B点时的速度大小为v，小球在光滑圆弧轨道上运动过程，由机械能守恒定律有：
   $\frac{1}{2}$mv²=mgR，得：v=$\sqrt{2gR}$
小球通过B点时，由牛顿第二定律有：F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，则得轨道的支持力为：F=3mg          
根据牛顿第三定律，知在B点小球对轨道的压力大小为：F′=F=3mg．故A错误，B正确．
C、设小球从B运动到C的时间为t．则有 tanθ=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{vt}$=$\frac{gt}{2v}$，得 t=$\frac{2vtanθ}{g}$
小球落到斜面底端时的速度方向与水平方向的夹角正切为 tanα=$\frac{gt}{v}$=2tanθ，则α≠2θ，故C错误．
D、斜面的高度为 h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$=$\frac{1}{2}g（\frac{2tanθ\sqrt{2gR}}{g}）^{2}$=4Rtan²θ，故D正确．
故选：BD

点评 本题AB两项的结果可在理解的基础上记住，这个结论经常用到．对于平抛运动，要熟练运用运动的分解法研究，要注意挖掘隐含的条件：小球落在C点时，竖直位移与水平位移之比等于tanθ．