Question

7．如图所示，两水平平行导轨a、b相距L，a、b间有磁感应强度为B₁的匀强磁场，磁场方向垂直导轨平面向上，a、b左端连接一电容为C、电压为U的电容器，右端有一与a、b垂直放置、质量为m的直导体棒，a，b导轨光滑，平行导轨c、d固定在水平面上，c，d相距为L，与水平面间的夹角为α，c、d导轨底端连接一阻值为R的电阻，磁感应强度为B₂的匀强磁场垂直于c、d平面向上．将开关S闭合，棒由静止水平抛出，恰好从c，d导轨上端开始，沿c，d导轨做匀速运动，已知棒与c、d导轨间的动摩擦因数为μ，不计棒的电阻，重力加速度为g，求：
（1）棒沿c，d导轨运动的速度；
（2）棒抛出后，电容器的电压．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律和闭合电路的欧姆定律结合平衡条件求解速度大小；
（2）求出导体棒平抛出去瞬间的初速度大小，根据动量定理求解通过导体棒的电荷量，再根据电容的计算公式求解棒抛出后，电容器的电压．

解答 解：（1）棒沿c，d导轨做匀速运动时受力平衡，则有：
B₂IL+μmgcosα=mgsinα，
根据法拉第电磁感应定律和闭合电路的欧姆定律可得：
I=$\frac{{B}_{2}Lv}{R}$，
联立解得：v=$\frac{mgR（sinα-μcosα）}{{B}_{2}^{2}{L}^{2}}$；
（2）导体棒平抛出去瞬间的初速度大小为：
v₀=vcosα=$\frac{mgR（sinα-μcosα）cosα}{{B}_{2}^{2}{L}^{2}}$，
以导体棒为研究对象，根据动量定理可得：
${B}_{1}\overline{I}L•△t=m{v}_{0}-0$，
此过程通过导体棒的电荷量为：
q=$\overline{I}•△t$=$\frac{{m}^{2}gR（sinα-μcosα）cosα}{{{B}_{1}B}_{2}^{2}{L}^{3}}$，
电容器中剩余的电荷量为：
Q′=CU-q=CU-$\frac{{m}^{2}gR（sinα-μcosα）cosα}{{{B}_{1}B}_{2}^{2}{L}^{3}}$，
棒抛出后，电容器的电压为：
U′=$\frac{Q′}{C}$=U-$\frac{{m}^{2}gR（sinα-μcosα）cosα}{{{CB}_{1}B}_{2}^{2}{L}^{3}}$．
答：（1）棒沿c，d导轨运动的速度为$\frac{mgR（sinα-μcosα）}{{B}_{2}^{2}{L}^{2}}$；
（2）棒抛出后，电容器的电压为U-$\frac{{m}^{2}gR（sinα-μcosα）cosα}{{{CB}_{1}B}_{2}^{2}{L}^{3}}$．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．