Question

11．某同学欲探究圆锥摆的相关规律，他找来一根不可伸长的细线并测出其长度L，把细线一端固定于O点，在O点处连一拉力传感器（图中未画出 ），拉力传感器可以感应细线上的拉力，传感器与计算机连接，在计算机上显示出细线的拉力F，线的另一端连有一质量为m的小球（可看做质点），让小球在水平面内作匀速圆周运动．
①该同学探究发现图中细线与竖直方向夹角θ和细线拉力F的关系是：细线拉力随θ角增大而增大（填“增大”、“减小”或“不变”）
②该同学用细线拉力F、线长L和小球质量m得出了小球运动的角速度ω=$\sqrt{\frac{F}{mL}}$．
③该同学想进一步探究θ与小球角速度ω的关系，他以$\frac{1}{cosθ}$为横轴，以ω²为纵轴建立直角坐标系，描点作图得到一条直线，设直线的斜率为k，则当地重力加速度的表达式为g=kL（用题目己知量表示）．

Answer 1

分析 小球在重力和拉力合力作用下做圆周运动，靠两个力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出角速度，进而求出角速度．

解答 解：（1）对小球，受力分析可知，小球受到重力和绳子的拉力，如图：
据牛顿第二定律：
竖直方向：F_y-G=0    ①
水平方向：F_x=ma=mω²r   ②
又F_y=F．cosα      ③
F_x=F．sinα 　      ④
由①②③④，得：
F=$\frac{mg}{cosα}$   ⑤
所以细线拉力随θ角增大而增大．
（2）又由：r=Lcosθ
ω=$\sqrt{\frac{F}{mL}}$   ⑥
（3）将⑤式代入⑥得：ω=$\sqrt{\frac{\frac{mg}{cosθ}}{mL}}=\sqrt{\frac{g}{Lcosθ}}$
该同学以$\frac{1}{cosθ}$为横轴，以ω²为纵轴建立直角坐标系，描点作图得到一条直线，设直线的斜率为k，则斜率：k=$\frac{{ω}^{2}}{\frac{1}{cosθ}}=\frac{g}{Lcosθ}•cosθ=\frac{g}{L}$
所以当地重力加速度的表达式为：g=kL
故答案为：①增大；②$\sqrt{\frac{F}{mL}}$；③kL

点评 解决本题的关键搞清小球做圆周运动向心力的来源，运用牛顿第二定律进行求解．