Question

19．如图所示，透明球体的半径为R，MN是一条通过球心的直线．一单色细光束AB沿平行于MN的方向射向球体，B为人射点，B到MN的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$R，出射光线CD与MN的交点为P．已知透明球体的折射率n=$\sqrt{2}$，光在真空中的传播速度为c．（sin15°=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，sin75°=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$）求：
（1）光在B点折射时的折射角；
（2）光从B点传播到P点所用的时间．（结果可用根号表示）

Answer 1

分析 （1）连接BC，BC为折射光线，作出法线，由几何知识确定出入射角，再折射定律求折射角．
（2）根据几何关系得出光在透明体内传播的路程，由v=$\frac{c}{n}$求得光在透明体内传播的速度，可得到光在透明体内传播的时间．由几何知识求出从C到P的距离，再求出时间，从而得到总时间．

解答 解：（1）光路图如图所示．
在B点，由几何知识得 sini=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}R}{R}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
得 i=45°
根据折射定律得
  n=$\frac{sini}{sinr}$
解得 r=30°
（2）BC=2Rcosr=$\sqrt{3}$R
在透明体中传播速度为 v=$\frac{c}{n}$
光从B传到C的时间 t₁=$\frac{BC}{v}$=$\frac{\sqrt{6}R}{c}$
由几何关系得 α=15°，β=30°
由正弦定理得
  $\frac{CP}{sinα}$=$\frac{R}{sinβ}$
解得 CP=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$R
光从C传到P的时间 t₂=$\frac{CP}{c}$=$\frac{（\sqrt{6}-\sqrt{2}）R}{2c}$
所以光从B点传播到P点所用的时间为 t=t₁+t₂=$\frac{（3\sqrt{6}-\sqrt{2}）R}{2c}$
答：
（1）光在B点折射时的折射角是30°．
（2）光从B点传播到P点所用的时间为$\frac{（3\sqrt{6}-\sqrt{2}）R}{2c}$．

点评 本题是光的折射定律和几何知识的综合，要在作出光路图的基础上，运用数学知识求相关角度和距离，对数学几何的能力要求较高，要加强训练，提高解题能力．