Question

5．如果把水星和金星绕太阳的运动视为匀速圆周运动，从水星与金星在一条直线上开始计时，若天文学家测得在相同时间内水星转过的角度为θ₁，金星转过的角度为θ₂（θ₁、θ₂均为锐角），则由此条件可求得（　　）

• A． 水星和金星绕太阳运动的周期之比$\frac{{θ}_{2}}{{θ}_{1}}$
• B． 水星和金星的密度之比（$\frac{{θ}_{2}}{{θ}_{1}}$）²
• C． 水星和金星到太阳的距离之比$\frac{\root{3}{{{θ}^{2}}_{2}}}{\root{3}{{{θ}^{2}}_{1}}}$
• D． 水星和金星绕太阳运动的向心加速度大小之比$\frac{\root{3}{{{θ}_{1}}^{4}}}{\root{3}{{{θ}_{2}}^{4}}}$

Answer 1

分析 根据相同时间内转过的角度之比求出角速度之比，从而得出周期之比，根据万有引力提供向心力得出轨道半径和周期的关系，结合周期之比求出轨道半径之比．根据万有引力提供向心力得出向心加速度之比．

解答 解：A、相同时间内水星转过的角度为θ₁；金星转过的角度为θ₂，可知它们的角速度之比为θ₁：θ₂．周期T=$\frac{2π}{ω}$，则周期比为θ₂：θ₁．故A正确．
B、水星和金星是环绕天体，无法求出质量，也无法知道它们的半径，所以求不出密度比．故B错误．
C、万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$r，解得：r=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$，$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\frac{{θ}_{2}}{{θ}_{1}}$，则：$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}$=$\frac{\root{3}{{θ}_{2}^{2}}}{\root{3}{{θ}_{1}^{2}}}$，故C正确．
D、向心加速度：a=ω²r=$（\frac{2π}{T}）^{2}$r，已知：$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\frac{{θ}_{2}}{{θ}_{1}}$，则：$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}$=$\frac{\root{3}{{θ}_{2}^{2}}}{\root{3}{{θ}_{1}^{2}}}$，则：$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{\root{3}{{θ}_{1}^{4}}}{\root{3}{{θ}_{2}^{4}}}$，故D正确；
故选：ACD．

点评 本题考查了万有引力定律的应用，解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，灵活应用万有引力公式与牛顿第二定律、角速度的定义式等知识即可解题．