Question

6．如图所示，匀强磁场的磁感应强度B=0.5T，匝数为n=50的矩形线圈，绕转轴OO′垂直于匀强磁场匀速转动，每匝线圈长为L=25m，宽为d=20cm，线圈每分钟转动1500转，在匀速转动过程中，从线圈平面经过图示位置时开始计时，若每匝线圈本身电阻r=0.02Ω，外接一只阻值为13Ω的用电器，求：
（1）写出交流感应电动势e的瞬时值表达式；
（2）写出交流感应电流i的瞬时值表达式；
（3）该交变电动势的有效值是多大，电流的有效值是多大，转动一周期内发热多少？
（4）若线圈转过$\frac{π}{4}$过程中，通过线圈的电荷量是多少？

Answer 1

分析 （1）由E=NBSω可求出最大感应电动势，分析开始计时的瞬间电动势，再由瞬时值表达式即可求出发电机的瞬间电动势E的表达式；
（2）根据闭合电路欧姆定律求解感应电流i的瞬时值表达式；
（3）根据最大值和有效值的关系求解电流与电动势的有效值，根据Q=UIt求得产生的热量；
（4）根据q=$n\frac{△Φ}{R+r}$求出通过R的电荷量．

解答 解：（1）转速n=$\frac{1500}{60}=25r/s$，角速度ω=2πn=50πrad/s
感应电动势的最大值为：E_m=nBLdω=nBLd•2πn=50×0.5×0.25×0.2×25×25=62.5πV，
因由垂直于中性面开始计时，则其表达式为：e=E_mcosωt=62.5πcos50πt；
（2）根据闭合电路欧姆定律得：i=$\frac{E}{R+r}=\frac{62.5πcos50πt}{14}$=4.46πcos50πt；
（3）电动势的有效值为：$E=\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}=\frac{62.5π}{\sqrt{2}}V=139V$
电流的有效值，则：I=$\frac{{I}_{m}}{\sqrt{2}}=\frac{4.46π}{\sqrt{2}}=10A$；
产生的热量为：Q=EIt=55.6J
（4）根据q=$\overline{I}=n\frac{△∅}{R+r}$得通过R的电荷量为：q=$\frac{nBSωsin45°}{R+r}=0.064C$．
答：（1）感应电动势e的瞬时值表达式为e=E_mcosωt=62.5πcos50πt；
（2）感应电流i的瞬时值表达式为i=4.46πcos50πt；
（3）该交变电动势的有效值是139V，电流的有效值是10A，转动一周期内发热为55.6J．
（4）由图示位置转过$\frac{π}{4}$角的过程中通过R的电荷量为0.045C．

点评 正弦交变电流从中性面计时，感应电动势的表达式为e=E_msinωt，垂直于中性面开始计时，则其表达式为e=E_mcosωt，知道电流表和电压表读数是有效值，计算电量用平均值，难度不大，属于基础题．