Question

12．一列简谐横波在介质中沿x轴正向传播，波长不小于10 cm．O和A是介质中平衡位置分别位于x=0和x=5 cm处的两个质点．t=0时开始观测，此时质点O的位移为y=4 cm，质点A处于波峰位置：t=$\frac{1}{3}$s时，质点O第一次回到平衡位置，t=1 s时，质点A第一次回到平衡位置．求
（i）简谐波的周期、波速和波长；
（ii）质点O的位移随时间变化的关系式．

Answer 1

分析 （i）设振动周期为T．由于质点A在0到1 s内由最大位移处第一次回到平衡位置，经历的是$\frac{1}{4}$个周期，由此可知周期T．
由于质点O与A的距离5 m小于半个波长，且波沿x轴正向传播，O在t=1/3时回到平衡位置，而A在t=1 s时回到平衡位置，时间相差（2/3）s．两质点平衡位置的距离除以传播时间，可得波的速度v，利用波长、波速和周期的关系得，简谐波的波长λ．

解答 解：（i）设振动周期为T．由于质点A在0到1 s内由最大位移处第一次回到平衡位置，经历的是$\frac{1}{4}$个周期，由此可知T=4 s；由于质点O与A的距离5 m小于半个波长，且波沿x轴正向传播，O在t=$\frac{1}{3}$s时回到平衡位置，而A在t=1 s时回到平衡位置，时间相差（$\frac{2}{3}$）s．两质点平衡位置的距离除以传播时间，可得波的速度$v=\frac{x}{t}=\frac{5m}{\frac{2}{3}s}=7.5m/s$；
利用波长、波速和周期的关系得，简谐波的波长λ=vT=7.5×4m=30m．
（ii）设质点O的位移随时间的变化关系为$y=Acos（\frac{2π}{T}t+φ）$，将（i）中的解及题中的条件代入上式得，
4=Acosφ，$0=Acos（\frac{π}{6}+φ）$，联立以上两式得，$φ=\frac{π}{3}$，A=8cm．
所以质点O的位移随时间的变化关系为：$y=0.08cos（\frac{π}{2}t+\frac{π}{3}）$（国际单位制）
答：（i）简谐波的周期为4s、波速为7.5m/s，波长为30m；
（ii）质点O的位移随时间变化的关系式$y=0.0.8cos（\frac{π}{2}t+\frac{π}{3}）$（国际单位制）．

点评 本题考查了横波的图象和质点的振动图象问题．利用波长、波速和周期的关系并结合图象可求解第一问，第二问设质点O的位移随时间的变化关系的解析式，代入相关数据即可求解．