题目内容

18．如图所示，水平传输带以v=20m/s的速度匀速向右运动，左右两边端点A、B的间距为L=10m．传输带左边接倾斜直轨道AC，AC轨道与水平面夹角为θ=37°．传输带右边接半圆形轨道BD并相切于B点，BD轨道半径R=2m．两轨道与传输带连接处认为紧密圆滑，物体通过连接点时无机械能损失．有一可视为质点的物体从B点出发以初速度v0向左运动．已知物体与传输带的动摩擦因数为μ1=0.4，物体与斜面的动摩擦因数为μ2=0.3，圆轨道光滑．问：v0至少多大，物体才能运动经过D点？（AC斜面足够长，结果保留3位有效数字）

分析 物体恰好能到达D点，必须由重力提供向心力，可求得物体到达D点所需要的速度，由机械能守恒定律求出物体到达B必须具有的速度．再研究物体B到A、A到C、以及C到B的过程，运用牛顿第二定律和运动学公式得到B点的速度与初速度的关系，从而求得初速度的条件．

解答 解：设小物体恰能运动到D点的速度为vD，重力提供向心力：$mg=m\frac{v_D^2}{R}$…①
下面求此临界状态下的v0．设物体从B点向左出发后第一次返回B点时的速度为 $v_B^{\;}$
物体从B运动到D的过程中机械能守恒：$\frac{1}{2}mv_B^2=\frac{1}{2}mv_D^2+mg•2R$…②
由①②得：${v_B}=\sqrt{5gR}=10m/s$…③
若传输带足够长，则当v0=10m/s时，物体先向左减速到零后又向右加速，由于传输带速度为20m/s＞10m/s，所以物体向右运动的过程中一直加速．且向左运动的加速度大小与向右运动时的加速度大小相等，由对称性可得回到B点的速度vB=10m/s，恰能完成圆周运动到D点．如果能完成上述过程，传输带的长度至少为L′．
从B向A运动的过程中，物块的加速度大小为：${a_1}=\frac{{{μ_1}mg}}{m}=4m/{s^2}$…④
  $v_0^2=2{a_1}L'$
解得：L'=12.5m＞10m
斜面AC有摩擦要损失动能，所以v0=10m/s是不能让物体最终运动到D点的．v0的临界速度必须比10m/s更大． 设物体从B以v0出发运动到最左端的A点时的速度为vA．
则 ${v_A}^2-{v_0}^2=-2{a_1}L$…⑤
在斜面AC上行过程中加速度大小设为a2，上行的最大位移为x，则有：${a_2}=\frac{{mgsinθ+{μ_2}mgcosθ}}{m}=8.4m/{s^2}$ ⑥
 $x=\frac{v_A^2}{{2{a_2}}}$…⑦
从B出发经传输带和斜面AC再经传输带回到B的过程中由动能定理有：
 $-{μ_2}mgcosθ•2x=\frac{1}{2}m{v_B}^2-\frac{1}{2}mv_0^2$…⑧
由⑤⑦⑧得$（1-\frac{{2{μ_2}gcosθ}}{a_2}）v_0^2=v_B^2-\frac{{4{μ_2}g{a_1}Lcosθ}}{a_2}$…⑨
代入③④⑥数据代入得：v0=11.3m/s，所以物体初速度至少应为11.3m/s．
答：v0至少11.3m/s，物体才能运动经过D点．

点评 本题要理清物体运动的过程，分段应用牛顿第二定律、机械能守恒定律和运动学公式研究物体的速度，结合最高点临界速度进行研究．

练习册系列答案
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A．如果物体的动能有变化，其速度也一定变化
B．如果物体的速度有变化，其动能也一定变化
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D．如果物体的动能没有变化，其速度也一定不变
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