Question

13．如图所示为“割绳子”游戏中的一幅截图，游戏中割断左侧竖直绳子时若糖果能砸到正下方的星星，就能得分．糖果一定能碰到星星吗？现将其中的物理问题抽象出来进行研究：三根不可伸长的轻绳共同系住一颗质量为m的糖果（可视为质点），设从左到右三根轻绳的长度分别为L₁、L₂和L₃，其中最左侧的绳子处于竖直且张紧的状态，另两根绳均处于松弛状态，三根绳的上端分别固定在同一水平线上，且相邻两悬点间距离均为d，糖果正下方的一颗星星与糖果距离为h．已知绳子由松弛到张紧时沿绳方向的速度分量即刻减为零，现将最左侧的绳子割断．（已知m=25g，d=3cm，L₁=3cm，h=1cm）求：
（1）只要绳长满足什么条件糖果就能经过正下方第一颗星星处？
（2）若在割断绳子到糖果运动到最低点的过程，L₃始终处于松弛状态，L₂的长度刚好满足（1）中的临界状态，求糖果到达最低点动能为多少？

Answer 1

分析 糖果通过正下方第一颗星星前，绳2和绳3不能绷紧；绕中间点作圆周运动时，绳1被切断，绳2绷紧时有速度损失，可以由初态到绳2绷紧前使用动能定理求解；最低点之前可能有两次速度损失．

解答 解：（1）小球通过正下方第一颗星星之前，绳2和绳3应刚好伸直或仍然弯曲，则需同时满足${L}_{2}≥\sqrt{{（{L}_{1}+h）}^{2}+{d}^{2}}=5cm$和${L}_{3}≥\sqrt{{（{L}_{1}+h）}^{2}+{4d}^{2}}=\sqrt{52}cm$； 
（2）从小球自由下落到L₂刚刚伸直，由动能定理得$mg（\sqrt{{{L}_{2}}^{2}-{d}^{2}-{L}_{1}}）=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，在绳2绷紧后，沿绳方向速度会损失掉，剩余速度为${v}_{y}=v\frac{d}{{L}_{2}}$，
解以上两式得$\frac{1}{2}m{{v}_{y}}^{2}=mg\frac{{d}^{2}}{{{L}_{2}}^{2}}（\sqrt{{{L}_{2}}^{2}-{d}^{2}}-1）$，
以此状态为初态，以糖果刚刚到达最低点为末态，由动能定理得
$mg（{L}_{2}-\sqrt{{{L}_{2}}^{2}-{d}^{2}}）{=E}_{K}-\frac{1}{2}m{{v}_{y}}^{2}$，
解得E_K=3.4×10^-3J
答：（1）只要绳长满足L₂≥5cm且${L}_{3}≥\sqrt{52}cm$，糖果就能经过正下方第一颗星星处；
（2）若在割断绳子到糖果运动到最低点的过程，L₃始终处于松弛状态，L₂的长度刚好满足（1）中的临界状态，则糖果到达最低点动能为3.4×10^-3J．

点评 本题涉及动能定理、速度分解、运动过程分析等内容，是一道综合题，难底较大，过程的选择和速度分解的建轴方向是关键．