Question

13．如图，有一个光滑轨道，水平部分MN段和圆形部分NPQ平滑连接，圆形轨道的半径为R；质量为m的A球以v₀=4$\sqrt{gR}$的速度沿轨道向右运动，与静止在水平轨道上质量为2m的B球发生碰撞，碰撞中两个小球组成的系统共损失的机械能为碰撞前A球动能的一半．两球可视为质点．试通过计算判断碰撞后B球能否达到圆形轨道的最高点．

Answer 1

分析 A、B球碰撞水平方向不受外力，动量守恒；碰撞中两个小球组成的系统共损失的机械能为碰撞前A球动能的一半；由此列出表达式可解出v_B．B球刚好能到达最高点满足重力充当圆周运动的向心力；由机械能守恒求得最低点速度v_N．比较v_B、v_N即能判断碰撞后B球能否达到圆形轨道的最高点．

解答 解：设碰后A、B球速度分别为v_A、v_B，由动量守恒知
mv₀=mv_A+2mv_B
碰撞中两个小球组成的系统共损失的机械能为碰撞前A球动能的一半
$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}+\frac{1}{2}2{mv}_{B}^{2}$
联立以上两式解得
v_B=$\frac{{v}_{0}}{2}$=2$\sqrt{gR}$   v_B=$\frac{{v}_{0}}{6}$（舍去）
设B球在最低点速度为v_N时刚好能运动到圆形轨道的最高点，由机械能守恒可知
$\frac{1}{2}2{mv}_{N}^{2}=2mg2R+\frac{1}{2}2m{v}_{P}^{2}$
由P点重力充当圆周运动的向心力可知
$2mg=2m\frac{{v}_{P}^{2}}{R}$
联立以上两式解得
v_N=$\sqrt{5gR}$
由于v_B＜v_N，所以碰后B球不能到达圆形轨道的最高点．
答：碰后B球不能到达圆形轨道的最高点．

点评 本题动量守恒、碰撞中损失的机械能列式的解出v_B的关键；注意刚好能运动到圆形轨道的最高点是临界值状态，同时满足机械能守恒．