Question

16．宇航员在某星球上做了以下实验：将一小球从水平地面以30°角斜向上抛出，抛出时速度大小为v₀，经t时间落回水平面，忽略空气阻力和星球自转的影响，已知引力常量为G，星球半径为R．求：
（1）该星球的质量；
（2）在该星球表面要成功发射一颗卫星的最小发射速度v．

Answer 1

分析 （1）根据运动的合成与分解求出星球表面重力加速度．忽略星球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式求解星球的质量M．
（2）该星球的近地卫星的向心力由万有引力提供，该星球表面物体所受重力等于万有引力，联立方程即可求出该星球的第一宇宙速度υ；

解答 解：（1）设星球表面重力加速度为g，将初速度分解如图：

${v}_{y}^{\;}={v}_{0}^{\;}sin30°=\frac{{v}_{0}^{\;}}{2}$
由经过时间t落回地面．则有：
${v}_{y}^{\;}=g\frac{t}{2}$      
得：$g=\frac{{v}_{0}^{\;}}{t}$
对小球由$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$
得：$M=\frac{{v}_{0}^{\;}{R}_{\;}^{2}}{Gt}$
（2）设最小发射速度为v．则有：
$mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得：$v=\sqrt{\frac{{v}_{0}^{\;}R}{t}}$
答：（1）该星球的质量$\frac{{v}_{0}^{\;}{R}_{\;}^{2}}{Gt}$；
（2）在该星球表面要成功发射一颗卫星的最小发射速度v为$\sqrt{\frac{{v}_{0}^{\;}R}{t}}$．

点评 重力加速度g是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．本题要求学生掌握两种等式：一是物体所受重力等于其吸引力；二是物体做匀速圆周运动其向心力由引力提供