Question

如图所示，从光滑的

1

4

圆弧槽的最高点滑下的小球，滑出槽口时速度为水平方向，槽口与一个半球顶点相切，半球底面为水平，已知圆弧槽的半径为R₁，半球的半径为R₂．求：
（1）小球运动到

1

4

圆弧槽的底部对圆弧槽的底部压力为多少？
（2）若要使小球滑出槽口后不沿半球面下滑，则R₁与R₂应满足什么关系？
（3）若小球刚好不沿半球面下滑，则小球落地时的动能为多少？

Answer 1

分析：（1）根据机械能守恒定律求出小球滑出槽口时速度，在槽口根据向心力公式列式即可求解；
（2）若要使小球滑出槽口后不沿半球面下滑，可知重力恰好或不足以提供向心力而作平抛运动；
（3）根据机械能守恒定律即可求解．

解答：解：（1）小球滑出槽口时速度为v，
根据机械能守恒定律得：mgR1=

1

2

mv2①
在槽口时：N-mg=m

v2

R1

②
由①②式解得：N=3mg
由牛顿第三定律得：N′=N=3mg   方向：竖直向下
（2）若要使小球滑出槽口后不沿半球面下滑，可知重力恰好或不足以提供向心力而作平抛运动．
即mg≤m

v2

R2

③
由①③两式联立解得R₁与R₂应满足的关系是：
R1≥

1

2

R₂
（3）由机械能守恒得：Ek=

1

2

mv2+mgR2=

3

2

mgR2
答：（1）小球运动到

1

4

圆弧槽的底部对圆弧槽的底部压力为3mg，方向竖直向下；
（2）若要使小球滑出槽口后不沿半球面下滑，则R₁与R₂应满足R1≥

1

2

R₂；
（3）若小球刚好不沿半球面下滑，则小球落地时的动能为

3

2

mgR2．

点评：本题关键根据机械能守恒定律和向心力公式列式，同时要注意在最低点，重力不足于提供绕半球运动所需的向心力．