Question

15．如图所示，光滑水平面MN左端挡板处有一弹射装置P，右端N与处于同一高度的水平传送带之间的距离可忽略，传送带水平部分NQ的长度L=8m，皮带轮逆时针转动带动传送带以v=2m/s的速度匀速转动．MN上放置两个质量都为m=1kg的小物块A、B，它们与传送带间的动摩擦因数μ=0.4．开始时A、B静止，A、B间压缩一轻质弹簧，其弹性势能E_p=16J．现解除锁定，弹开A、B，并迅速移走弹簧．取g=10m/s²．
（1）求物块B被弹开时速度的大小；
（2）求物块B在传送带上向右滑行的最远距离及返回水平面MN时的速度v_B′；
（3）若A与P相碰后静止，当物块B返回水平面MN后，A被P弹出，A、B相碰后粘接在一起向右滑动，要使A、B连接体恰好能到达Q端，求P对A做的功以及全过程中（自弹簧弹开A、B时开始）因摩擦而产生的总热量．

Answer 1

分析 （1）A、B被弹簧弹开的过程实际是爆炸模型，符合动量守恒、AB及弹簧组成的系统机械能守恒．
（2）对B用动能定理求在传送带上向右滑行的最远距离．
（3）我们用逆向思维考虑：A、B整体最后刚好从Q点滑出那么它的末速度一定为零，即他们一直做匀减速运动，则A、B碰撞后的公共速度可求；而碰撞前B的速度已知，那么碰撞前A的速度利用动量守恒可求；既然A的速度求出来了，我们利用动量定理或者功能关系知道P对A做的功就等于A的动能．问题便迎刃可解．

解答 解：（1）对于A、B物块被弹簧分开的过程系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得：
mv_A=mv_B
由能量守恒定律得：E_p=$\frac{1}{2}$mv_A²+$\frac{1}{2}$mv_B²
代入数据得：v_A=v_B=4m/s，
（2）以B物体为研究对象，滑到最右端时速度为0，根据动能定理得：
-μmgs=0-$\frac{1}{2}$mv_B²，
代入数据解得：s=2m，
因为v_B＞v所以B物体返回到水平面MN后的速度为：V_B′=V=2m/s；
（3）设A与B碰前的速度为V_A1 B被A碰撞一起向右运动的速度为V_B2
要使A、B连接体刚好从Q端滑出则B物体的末速度为：V_B3=0；
由匀变速直线运动规律知V_B2²=2as 且μmg=ma，
代入数据解得：V_B2=8m/s，
对于A、B的碰撞过程由动量守恒得：mV_A1-mV_B1=2mV_B2，
代入数据解得：V_A1=18m/s，
由动能定律得P对A做的功为：W=$\frac{1}{2}$mV_A1²，
代入数据解得：W=162J；
B在传送带上减速运动时间：t₁=$\frac{v}{a}$=$\frac{2}{4}$=0.5s，
传送带的位移：s_传送带=vt₁=2×0.5=1m，
因摩擦产生的热量：Q=μmg•2（s-s_传送带）+μ•2mgL，
代入数据解得：Q=72J；
答：（1）物块B被弹开时速度4m/s；
（2）物块B在传送带上向右滑行的最远距离为2m，返回水平面MN时的速度v_B′为2m/s．
（3）P对A做的功162J，因摩擦而产生的总热量为72J．

点评 本题是动量守恒，能量守恒综合应用的一道比较困难的题目．正确分析题目当中的临界条件是关键．