Question

9．如图所示，竖直平面内半径R=0.40m的$\frac{3}{4}$圆周轨道下端与水平面相切，O为圆轨道的圆心，D点与圆心等高，B、C分别为半圆形轨道的最低点和最高点，圆轨道内壁光滑．小滑块（可视为质点）从A点以v₀=6.0m/s的速度沿水平面向左滑动，接着滑块依次经过B、C、D三点，最后沿竖直方向下落到地面上的E点．已知滑块与水平面间的动摩擦因数μ=0.50，A、B两点间的距离L=1.2m．取重力加速度g=10m/s²．
（1）求滑块运动到D点时的速度大小v_D；
（2）若让滑块从E点以初速度v_E开始沿水平面向左滑动，滑块仍沿圆轨道运动直至最终竖直下落到E点，求初速度v_E的最小值．（结果可保留根号）

Answer 1

分析 （1）对滑块从A点运动到D点过程，运用动能定理列式，可求出滑块运动到D点时的速度大小v_D；
（2）要使滑块沿圆轨道运动最终竖直下落到E点，则滑块必须通过最高点C，刚好通过C点时，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求出C点的最小速度，再由动能定理求初速度v_E的最小值．

解答 解：（1）对滑块从A点运动到D点过程，由动能定理有：
-μmgL-mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$　　①
代入数据解得：v_D=4m/s
（2）若滑块沿圆轨道运动最终竖直下落到E点，则滑块必须通过最高点C，设滑块在C点
的最小速度为v_C，有：
   mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$　　　②
对滑块从E点运动到C点过程，由动能定理有：
-μmgR-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$　　　③
由②③式并代入数据可解得：v_E=2$\sqrt{6}$m/s
答：
（1）滑块运动到D点时的速度大小v_D是4m/s．
（2）初速度v_E的最小值是2$\sqrt{6}$m/s．

点评 本题是动能定理和向心力的综合应用，要灵活选取研究的过程，分析各个力做功，关键要把握C点的临界条件：重力提供向心力．