题目内容

8．如图所示，某人造地球卫星发射过程经过地球近地轨道Ⅰ，椭圆轨道Ⅱ，最终到达预定圆轨道Ⅲ，椭圆轨道Ⅱ与近地轨道Ⅰ和圆轨道Ⅲ分别相切于P点和Q点．已知地球半径为R，地球表面上的重力加速度为g，卫星从P点到Q点运行时间tPQ=8π$\sqrt{\frac{R}{g}}$，则下列说法正确的是（　　）
A．卫星从P点到Q点做加速运动B．圆周轨道Ⅲ的半径为8R
C．圆周轨道Ⅲ的半径为7RD．卫星在圆周轨道Ⅲ的周期14π$\sqrt{\frac{R}{g}}$

分析 根据万有引力做功正负分析卫星从P点到Q点速度的变化．由开普勒第三定律求圆周轨道Ⅲ的半径．由万有引力等于向心力，以及重力等于万有引力分别列式，即可求得卫星在圆周轨道Ⅲ的周期．

解答 解：A、卫星从P点到Q点的过程中，万有引力对卫星对做负功，其速度减小，做减速运动，故A错误；
BC、由题可得，卫星沿椭圆轨道Ⅱ运动的周期${T}_{Ⅱ}^{\;}=2{t}_{PQ}^{\;}=16π\sqrt{\frac{R}{g}}$，设圆周轨道Ⅲ的半径为r，卫星在近地轨道Ⅰ运行的运行的周期为${T}_{Ⅰ}^{\;}$
根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{Ⅰ}^{2}}R$，得${T}_{Ⅰ}^{\;}=2π\sqrt{\frac{{R}_{\;}^{3}}{GM}}$
在地面重力等于万有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，得$GM=g{R}_{\;}^{2}$
解得：${T}_{Ⅰ}^{\;}=2π\sqrt{\frac{R}{g}}$
由根据开普勒第三定律：$\frac{{R}_{\;}^{3}}{{T}_{Ⅰ}^{2}}=\frac{（\frac{R+r}{2}）_{\;}^{3}}{{T}_{Ⅱ}^{2}}$
解得：r=7R，故B错误，C正确；
D、由开普勒第三定律：$\frac{{R}_{\;}^{3}}{{T}_{Ⅰ}^{2}}=\frac{{r}_{\;}^{3}}{{T}_{Ⅲ}^{2}}$
解得：${T}_{Ⅲ}^{\;}=6π\sqrt{\frac{7R}{g}}$，故D错误；
故选：C

点评 解决本题的关键要掌握开普勒第三定律：$\frac{{a}_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}}=k$，要知道公式中a是半长轴，灵活运用比例法解答．

练习册系列答案
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