Question

如图所示，一质量不计的轻质弹簧竖立在地面上，弹簧的上端与盒子A连接在一起，下端固定在地面上．盒子内装一个光滑小球，盒子内腔为正方体，一直径略小于此正方体边长的金属圆球B恰好能放在盒内，已知弹簧的劲度系数k=400N/m，A和B的质量均为m=2kg，将A向上提高使弹簧从自由长度开始伸长x₁=10cm后，从静止释放，不计空气阻力，A和B一起做竖直方向的简谐运动．取g=10m/s²．已知弹簧处在弹性限度内，对于同一弹簧，其弹性势能只决定于其形变的大小．试求：
（1）在平衡位置时弹簧的压缩量x₂和盒子A的振幅A；
（2）盒子A运动到最高点时，A对B的作用力方向（不要求写出判断的理由）；
（3）小球B的最大速度V_m．

Answer 1

分析：（1）振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离．当盒子A和金属圆球B所受合力为零时，盒子经过平衡位置，由平衡条件和胡克定律求出此时弹簧压缩的长度．
（2）振子在最高点时速度为零，加速度最大，分析AB运动情况答题．
（3）当盒子运动到平衡位置时，球B的速度最大，根据机械能守恒定律求解金属圆球B的最大速度．

解答：解：（1）系统处于平衡位置时，弹簧压缩x₂，
A、B处于平衡状态，由平衡条件得：2mg=kx₂，
解得，x₂=

2mg

k

=

2×2×10

400

=0.1m；?
盒子的振幅为：H=x₁+x₂=0.10 m+0.10 m=0.20m；
（2）在最高点，A与B的速度为零，加速度最大，B的重力与A对B的弹力提供B做简谐运动的回复力，A对B的作用力向下．?
（3）小球B运动到平衡位置时速度最大，
从最高点到平衡位置的过程中，弹力做的正功与负功相等，总功为零，
由动能定理，得?2mgA+0+△E_k=

1

2

?2m?v_m²，?
解得：v_m

2gA

m/s=2 m/s．?
答：（1）盒子A做简谐运动的振幅为0.20 m；?
（2）盒子A运动到最高点时，盒子A对金属小球B的作用力方向向下；
（3）金属小球B的最大速度为2m/s．?

点评：对于简谐运动的振幅，往往根据定义去分析求解．本题的技巧在于运用简谐运动的对称性．中等难度．