Question

8．如图1，电阻不计的足够长的平行光滑金属导轨PX、QY相距L=0.5m，底端连接电阻R=2Ω，导轨平面倾斜角θ=30°，匀强磁场垂直于导轨平面向上，磁感应强度B=1T．质量m=40g、电阻R=0.5Ω的金属棒MN放在导轨上，金属棒通过绝缘细线在电动机牵引下从静止开始运动，经过时间t₁=2s通过距离x=1.5m，速度达到最大，这个过程中电压表示数U₀=8.0V，电流表实数I₀=0.6A，示数稳定，运动过程中金属棒始终与导轨垂直，细线始终与导轨平行且在同一平面内，电动机线圈内阻r₀=0.5Ω，g=10m/s²．求：

（1）细线对金属棒拉力的功率P多大？
（2）从静止开始运动的t₁=2s时间内，电阻R上产生的热量Q_R是多大？
（3）用外力F代替电动机沿细线方向拉金属棒MN，使金属棒保持静止状态，金属棒到导轨下端距离为d=1m．若磁场按照图2规律变化，外力F随着时间t的变化关系式？

Answer 1

分析 （1）细线对金属棒拉力的功率P等于电动机的输出功率，由题知电压表和电流表的示数稳定，说明电动机的输出功率不变，由输入功率与内电路消耗的功率之差求解电动机的输出功率，从而得解．
（2）金属棒先沿导轨向上做加速运动，后做匀速运动，速度达到最大．根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和安培力公式推导出安培力与速度的关系式，再由平衡条件求出金属棒的最大速度，运用能量守恒定律求解R产生的热量．
（3）根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律、安培力公式和平衡条件求解F的表达式．

解答 解析：（1）根据能量转化和守恒，有：
拉力的功率P=I₀U₀-I₀²r₀=0.6×8.0-0.6²×0.5=4.68W      
（2）当从静止开始运动经过t₁=2s时间，金属棒速度达到最大，设此时为v_m，金属棒中电动势为E，电流为I₁，受到的安培力为F_安，细线的拉力为F_拉，则
  E=BLv_m
  I₁=$\frac{E}{R+r}$
  F_安=BI₁L
又 P=F_拉v_m．
速度最大时棒做匀速运动，则有
 F_拉=mgsinθ+F_安
解得v_m=1m/s
金属棒从静止开始运动到达到最大速度过程中，设整个电路中产生的热量为Q，由能量转化和守恒得：
  Pt=mgxsinθ+$\frac{1}{2}$m${v}_{m}^{2}$+Q
  Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q
解得 Q_R=0.224J                
（3）由图可知 $\frac{△B}{△t}$=0.4T/s
设在t时刻，磁场的磁感应强度为B′，金属棒中电动势为E′，电流为I′，受到的安培力为F_安′，则
 B′=（0.2+0.4t）（T）            
根据法拉第电磁感应定律得：
感应电动势 E′=$\frac{△B}{△t}$Ld，
感应电流  I′=$\frac{E′}{R+r}$
金属棒所受的安培力 F_安′=B′I′L                      
根据平衡条件得 F=mgsinθ+F_安′
解得 F=0.016t+0.208（N）      
答：
（1）细线对金属棒拉力的功率P为4.68W．
（2）从静止开始运动的t₁=2s时间内，电阻R上产生的热量Q_R是0.224J．
（3）外力F随着时间t的变化关系式为F=0.016t+0.208 （N）．

点评 本题对综合应用电路知识、电磁感应知识和数学知识的能力要求较高，要正确分析金属棒的受力情况和运动情况，明确能量是如何转化的，熟练推导安培力与速度的关系式，运用力学的基本规律求解电磁感应问题．