Question

3．如图所示，质量为M、倾角为θ的斜面体（斜面光滑且足够长）放在粗糙的水平地面上，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为x₀的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的小球．待小球静止后，将小球沿斜面拉下一段距离，然后松开，小球便在斜面上做往复运动，且斜面体始终处于静止状态．重力加速度为g．
（1）求小球处于平衡位置时弹簧的长度；
（2）选小球的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标轴，用x表示小球相对于平衡位置的位移，证明小球做简谐运动；
（3）现压缩弹簧使其长度为$\frac{3}{4}$x₀时由静止开始释放，求振动过程中弹簧的最大伸长量；及斜面体与水平地面间的最大静摩擦力．

Answer 1

分析 （1）物体平衡时，受重力、支持力和弹簧的弹力，三力平衡，根据平衡条件并结合正交分解法和胡克定律列式求解；
（2）简谐运动的回复力满足F=-kx形式；
（3）简谐运动具有对称性，先求解出振幅，然后确定最大伸长量；
当滑块处于任意位移x处时，能保持静止即可，对斜面体受力分析后根据平衡条件列式求解，然后将最大位移打入即可．

解答 解：（1）设小球在斜面上平衡时，弹簧的伸长量为△x，有：
mgsinθ=k△x
解得：$△x=\frac{mgsinθ}{k}$
此时弹簧的长度为：
${x_0}+△x={x_0}+\frac{mgsinθ}{k}$
（2）当小球的位移为x时，弹簧伸长量为x+△x，小球所受合力为：
F=mgsinθ-k（x+△x）=-kx
F∝x，F与x方向时刻相反，所以满足让m做简谐运动的条件F=-kx，所以小球做简谐运动．
（3）小球做简谐运动的振幅为：$A=\frac{1}{4}{x_0}+\frac{mgsinθ}{k}$
由对称性可知，弹簧的最大伸长量为：$△{x_m}=\frac{1}{4}{x_0}+\frac{2mgsinθ}{k}$
设小球位移x为正，则斜面体受力情况如图所示，由于斜面体平衡，所以有
水平方向：Fcosθ=f+F_N1sinθ
又F_N1=mgcosθ
当F=k△x_m时，静摩擦力f取得最大值．
得：${f_m}=\frac{1}{4}k{x_0}cosθ+mgsinθcosθ$
答：（1）求小球处于平衡位置时弹簧的长度${x}_{0}+\frac{mgsinθ}{k}$；
（2）证明如上所述；
（3）现压缩弹簧使其长度为$\frac{3}{4}$x₀时由静止开始释放，振动过程中弹簧的最大伸长量$\frac{{x}_{0}}{4}+\frac{2mgsinθ}{k}$；及斜面体与水平地面间的最大静摩擦力$\frac{k{x}_{0}cosθ}{4}+mgsinθcosθ$．

点评 本题关键是先对滑块受力分析，然后根据牛顿第二定律列式分析；最后对斜面体受力分析，确定动摩擦因素的最小值，难题．