Question

13．若有一飞行器P绕月球做匀速圆周运动，周期为T，月球相对飞行器的张角为θ，求月球的平均密度（万有引力常量为G）

Answer 1

分析 根据几何关系求出探测器的轨道半径，结合万有引力提供向心力求出月球的质量，从而得出月球的密度．

解答 解：设月球的半径为R，根据几何关系知，飞行器的轨道半径为：r=$\frac{R}{sin\frac{θ}{2}}$，
根据$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得月球的质量为：M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，
则月球的密度为：$ρ=\frac{M}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}=\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$=$\frac{3π}{G{T}^{2}si{n}^{3}\frac{θ}{2}}$．
答：月球的平均密度为$\frac{3π}{G{T}^{2}si{n}^{3}\frac{θ}{2}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，并能灵活运用，知道运用该理论只能求解中心天体质量，不能求解环绕天体质量．