Question

4．宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因万有引力的作用吸引到一起．设二者的质量分别为m₁和m₂，二者相距为L，求：
（1）该双星系统中两颗星的轨道半径；
（2）该双星系统的运行的角速度．

Answer 1

分析 双星靠相互间的万有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出轨道半径之比，结合二者相距为L，求出两颗星的轨道半径；
根据万有引力提供向心力求出角速度的大小．

解答 解：（1）这两颗星万有引力提供向心力，有：
G$\frac{{{m}_{1}m}_{2}}{{L}^{2}}$=m₁ω²R₁…①
G$\frac{{{m}_{1}m}_{2}}{{L}^{2}}$=m₂ω²R₂…②
①②两式相除，得：$\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}}$=$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}$．
又因为R₁+R₂=L，所以有：
R₁=$\frac{{m}_{2}L}{{{m}_{1}+m}_{2}}$，R₂=$\frac{{m}_{1}L}{{{m}_{1}+m}_{2}}$
（2）两星的角速度相同，则：
G$\frac{{{m}_{1}m}_{2}}{{L}^{2}}$=m₁ω²R₁ …③
G$\frac{{{m}_{1}m}_{2}}{{L}^{2}}$=m₂ω²R₂…④
③式消去m₁，④式消去m₂得：
$G\frac{{{m_1}+{m_2}}}{{{L^{{2^{\;}}}}}}={ω^2}（{R_1}+{R_2}）={ω^2}_{\;}L$
解得：ω=$\sqrt{\frac{G{（m}_{1}{+m}_{2}）}{{L}^{3}}}$．
答：（1）该双星系统中两颗星的轨道半径分别是$\frac{{m}_{2}L}{{{m}_{1}+m}_{2}}$，$\frac{{m}_{1}L}{{{m}_{1}+m}_{2}}$；
（2）该双星系统的运行的角速度是$\sqrt{\frac{G{（m}_{1}{+m}_{2}）}{{L}^{3}}}$．

点评 解决本题的关键掌握双星模型系统，知道它们靠相互间的万有引力提供向心力，向心力的大小相等，角速度的大小相等．