Question

9．同学们用如图所示的实验装置来研究平抛运动．图中水平放置的底板上竖直地固定有M板和N板，M板上部有一个$\frac{1}{4}$圆弧形的轨道，P为最高点，O为最低点，O点处的切线水平．N板上固定有很多个圆环．将小球从P点飞出后无阻碍地通过各圆环中心，落到底板上．以O点为坐标原点，过O点的水平切线方向为x轴，竖直向下为y轴，把各个圆环的中心投影到N板上，即得到小球的运动轨迹．
（1）已知P₁处的圆环中心距O点的水平距离和竖直距离分别为x₁和y₁，P₂处的圆环中心距O点的水平距离和竖直距离分别为x₂和y₂，且y₂=4y₁．如果已知平抛运动在竖直方向上的运动规律与自由落体运动相同，在此前提下，如果x₂=2x₁，则说明小球在水平方向做匀速直线运动．
（2）把P₁点的坐标x₁、y₁代入y=ax²，求出常数a=a₁；把P₂点的坐标x₂、y₂代入y=ax₂，求出常数a=a₂；…；把P_n点的坐标x_n、y_n代入y=ax²，求出常数a=a_n，如果在实验误差充许的范围内，有a₁=a₂=…=a_n，说明该小球的运动轨迹是一条抛物线．
（3）已知小球在底板上的落点距O点水平距离为L，O点距底板高为H，不考虑空气阻力，重力加速度为g，则小球运动到O点时速度的大小为$L\sqrt{\frac{g}{2H}}$．

Answer 1

分析 （1）根据平抛运动的水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，再结合运动学公式，即可求解；
（2）根据水平与竖直方向的位移与时间关系式，组成方程组，消去时间，即可判定运动轨迹；
（3）根据高度求出平抛运动的时间，再根据水平位移和时间求出小球抛出时的速度大小．

解答 解：（1）由题意可知，y₂=4y₁．如果已知平抛运动在竖直方向上的运动规律与自由落体运动相同，
根据运动学公式可知，在相等的时间内，位移之比为1：3，因此它们的运动时间间隔相等；
在此前提下，如果x₂=2x₁，则说明小球在水平方向做匀速直线运动；
（2）平抛运动水平方向的位移表达式x=v_ot；
而竖直方向的位移表达式，y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$；
两式相约去时间t，则有：y=$\frac{g}{2{v}_{0}}$x²；
如果在实验误差充许的范围内，有a₁=a₂=…=a_n，说明该小球的运动轨迹是一条抛物线；
（3）根据H=$\frac{1}{2}$gt²得，t=$\sqrt{\frac{2H}{g}}$．
小球抛出时的速度v₀=$\frac{L}{t}$=$L\sqrt{\frac{g}{2H}}$；
故答案为：（1）匀速直线；（2）抛物线； （3）$L\sqrt{\frac{g}{2H}}$．

点评 考查平抛运动的处理规律，掌握运动学公式的应用，理解数学中抛物线方程，注意平抛运动的条件．