Question

12．宇航员在某星球表面以一定初速度v₀竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处，已知该星球的半径为R，不考虑星球的自转，已知万有引力常量为G．
（1）求该星球表面附近的重力加速g的大小；
（2）求该星球的质量和密度．

Answer 1

分析 （1）小球在月球表面做竖直上抛运动，由速度时间公式求出月球表面的重力加速度；
（2）忽略球体自转的影响，万有引力和重力相等求解中心天体的质量，再根据ρ=MV求解天体密度．

解答 解：（1）小球竖直上抛后做匀变速直线运动，取竖直向上为正方向，根据运动学规律有：
-v₀-v₀=gt；
解得：$g=\frac{2{v}_{0}}{t}$
（2）设某星球的质量为M，忽略星体和地球的自转，表面的物体受到的万有引力等于重力，有：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$
解得：$M=\frac{g{R}^{2}}{G}$
该星球的密度为：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{'3g}{4GR}$
答：（1）求该星球表面附近的重力加速g的大小为$\frac{2{v}_{0}}{t}$；
（2）求该星球的质量为$\frac{g{R}^{2}}{G}$和密度为$\frac{3g}{4GR}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力等于重力这一重要理论，并能灵活运用，该理论运用比较广泛，所以将GM=gR²称为“黄金代换式”．