Question

14．如图所示，AB为倾角θ=37°的粗糙斜面轨道，通过一小段光滑圆弧与光滑水平轨道BC相连接，质量为m₂的小球乙静止在水平轨道上，质量为m₁的小球甲以速度v₀与乙球发生弹性正碰．若m₁：m₂=1：2，且轨道足够长，（sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
①碰撞后甲乙两小球的速度；
②要使两球能发生第二次碰撞，乙球与斜面之间的动摩擦因数μ的取值范围．

Answer 1

分析 ①由于两球发生弹性碰撞，则动量守恒、机械能守恒，结合动量守恒定律和机械能守恒定律求出碰后两球的速度大小．
②根据动能定理得出碰后乙球返回斜面底端的速度，抓住该速度大于甲的速度，得出动摩擦因数的范围．

解答 解：①设碰后甲的速度为v₁，乙的速度为v₂，以m₁的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：
  m₁v₀=mv₁v₁+m₂v₂…①
由机械能守恒定律得：
  $\frac{1}{2}$m₁v₀²=$\frac{1}{2}$m₁v₁²+$\frac{1}{2}$m₂v₂²…②
联立①②解得：v₁=$\frac{{m}_{1}-{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$v₀=-$\frac{1}{3}{v}_{0}$，v₂=$\frac{2{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}{v}_{0}$=$\frac{2}{3}{v}_{0}$；
②设乙球沿斜面上滑的最大位移为s，滑到斜面底端的速度大小为v，由动能定理得，小球乙从水平面到斜面最高点的过程，有：
-（m₂gsin37°+μm₂gcos37°）s=0-$\frac{1}{2}$m₂v₂²…③
小球乙从斜面最高点到水平面的过程，有：
   （m₂gsin37°-μm₂gcos37°）s=$\frac{1}{2}$m₂v²-0…④
要使乙能追上甲发生二次碰撞，有：v＞$\frac{{v}_{0}}{3}$…⑤
解得：μ＜0.45；
答：①碰后小球甲速度大小为$\frac{1}{3}{v}_{0}$，乙球的速度大小为$\frac{2}{3}{v}_{0}$；
②要使两球能发生第二次碰撞，乙球与斜面之间的动摩擦因数μ的取值范围是μ＜0.45．

点评 本题考查了动量守恒、能量守恒、动能定理的综合运用，知道弹性碰撞的特点，以及两球发生第二次碰撞的条件是解决本题的关键．