Question

20．如图所示，光滑水平面上静止放置一个质量为M=2m的长木板，长木板上表面的BC部分为光滑的$\frac{1}{4}$圆弧，AB部分为长为L的粗糙平面，AB与BC平滑连接，质量为m的小物块（可视为质点）以一定初速度滑上木板的最左端A点，刚好滑到C点，最终恰好能返回A点，己知长木板AB部分与小物块的动摩擦因数为μ，求：
①小物块的初速度大小；
②圆弧的半径．

Answer 1

分析 根据动量守恒可求得共速度的大小；再由能量的转化和守恒定律进行分析，联立方程即可求得初速度和半径．

解答 解：设小物块的初速度为V₀，刚好滑到C点时与木板达到共同速度V₁，设向右为正方向；根据动量守恒定律可得：
mv₀=（m+M）v₁
据能量转化守恒定律：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$（m+M）v₁²+μmgL+mgR
小物块从C点恰好返回到A点时，又与木板达到共同速度V₂，据动量守恒：
v₁=v₂；
据能量转化守恒定律：$\frac{1}{2}$（m+M）v₁²+mgR=$\frac{1}{2}$（m+M）v₂²+μmgL
解得：v₀=$\sqrt{6gL}$；
R=μL
答：①小物块的初速度大小为$\sqrt{6gL}$；
②圆弧的半径μL．

点评 本题考查动量守恒定律的应用，要注意明确所研究的系统，并对系统做好受力分析，明确动量守恒定律及功能关系的正确应用．