Question

2．甲是半径为a的圆形导线框，电阻为R，虚线是圆的一条弦，虚线左右两侧导线框内磁场的磁感应强度随时间变化如图乙所示，设垂直线框向里的磁场方向为正，求：

（1）线框中0～t₀时间内的感应电流大小和方向；
（2）线框中0～t₀时间内产生的热量．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律分别对左侧和右侧进行列式，由楞次定律判断出感应电流的方向，即可求解总的感应电动势，由欧姆定律求解出感应电流．
（2）由焦耳定律求解热量即可．

解答 解：（1）设虚线左侧的面积为S₁，右侧的面积为S₂，则根据法拉第电磁感应定律得：
向里的变化磁场产生的感应电动势为E₁=$\frac{△{B}_{1}^{\;}}{△t}{S}_{1}^{\;}$
感应电流方向为逆时针方向
向外的变化磁场产生的感应电动势为E₂=$\frac{△{B}_{2}^{\;}}{△t}{S}_{2}^{\;}$
感应电流方向为逆时针方向
从题图乙中可以得到$\frac{△{B}_{1}^{\;}}{△t}=\frac{{B}_{0}^{\;}}{{t}_{0}^{\;}}$
$\frac{△{B}_{2}^{\;}}{△t}=\frac{{B}_{0}^{\;}}{{t}_{0}^{\;}}$
感应电流为$I=\frac{{E}_{1}^{\;}+{E}_{2}^{\;}}{R}=\frac{{B}_{0}^{\;}}{R{t}_{0}^{\;}}π{a}_{\;}^{2}$
方向为逆时针方向
（2）根据焦耳定律可得Q=I²Rt₀=$\frac{{π}_{\;}^{2}{a}_{\;}^{4}{B}_{0}^{2}}{R{t}_{0}^{\;}}$
答：（1）线框中0～t₀时间内的感应电流大小$\frac{{B}_{0}^{\;}}{R{t}_{0}^{\;}}π{a}_{\;}^{2}$，方向为逆时针方向；
（2）线框中0～t₀时间内产生的热量为$\frac{{π}_{\;}^{2}{a}_{\;}^{4}{B}_{0}^{2}}{R{t}_{0}^{\;}}$．

点评 解决本题的关键要准确运用法拉第电磁感应定律列出感应电动势，明确图象的斜率等于$\frac{△B}{△t}$，同时要搞清两个电动势的方向，得到总电动势．