Question

7．一圆形匀强磁场（图中未画出），磁场方向垂直于xoy平面，圆心在x轴上．一个质量为m，电荷量为q的带电粒子，由磁场区域的圆心开始以初速度为v，方向沿x轴正方向运动．后来粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30°，P到O的距离为L，如图所示，不计粒子重力的影响，求：
（1）磁场的磁感应强度B的最小值；
（2）在（1）问的条件下圆形磁场的半径R和圆心坐标．

Answer 1

分析 （1）分析可知当粒子轨迹半r径最大时对应的磁感应强度B最小，利用洛伦兹力提供向心力结合几何关系，即可求出磁感应强度B的最小值；
（2）根据第（1）问中粒子轨迹过程图，画出圆形磁场区域，根据几何关系求其半径R以及圆心坐标即可；

解答 解：（1）画出粒子做圆周运动轨迹半径r最大时，对应的粒子轨迹过程图，如图一所示，

可知此时粒子运动的半径r最大，磁感应强度B最小，
洛伦兹力提供向心力可得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$ ①
几何关系有：r=L-rsin30°，解得：r=$\frac{2}{3}$L②
联立①②式可得磁感应强度B的最小值：B=$\frac{3mv}{2qL}$
（2）画出磁场区域如图二所示，

根据几何关系可知圆形磁场的半径：R=O′′P=2rcos30°=2•$\frac{2}{3}$L•cos30°=$\frac{2\sqrt{3}L}{3}$
磁场区域圆心O′′的横坐标：x=-Rsin30°=$-\frac{\sqrt{3}L}{3}$
则圆心O′′的坐标为（$-\frac{\sqrt{3}L}{3}$，0）
答：（1）磁场的磁感应强度B的最小值为$\frac{3mv}{2qL}$；
（2）在（1）问的条件下圆形磁场的半径R为$\frac{2\sqrt{3}L}{3}$和圆心坐标为（$-\frac{\sqrt{3}L}{3}$，0）．

点评 本题考查带电粒子在有界磁场中的运动，解题关键是要正确画出粒子轨迹过程图，利用洛伦兹力提供向心力结合几何关系，第二问为求圆形磁场的最小面积问题，要根据粒子运动的轨迹正确画出圆形磁场的区域，再利用几何关系求解磁场区域的半径R以及圆心坐标，对数学几何能力要求较高．