Question

5．如图所示，在以原点O为圆心、半径为R的半圆形区域内充满了磁感应强度为B的匀强磁场，x轴下方为一平行板电容器，其正极板与x轴重合且在O处开有小孔，两极板间距离为$\frac{πR}{12}$．现有电荷量为e、质量为m的电子在O点正下方负极板上的P点由静止释放．不计电子所受重力．
（1）若电子在磁场中运动一段时间后刚好从磁场的最右边缘处返回到x轴上，求加在电容器两极板间的电压．
（2）将两极板间的电压增大到第（1）问中电压的4倍，先在P处释放第一个电子，在这个电子刚到达O点时释放第二个电子，求第一个电子离开磁场时，第二个电子的位置坐标．

Answer 1

分析 （1）电子先经电场加速，后进入磁场中偏转．根据动能定理列式，得到电压与电子获得的速度关系式；根据几何知识得知电子在磁场中圆周运动的半径为 r=$\frac{R}{2}$．由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律可求得速度，联立即可求得电压U．
（2）①根据上题的结果，得到将两极板间的电压增大到原来的4倍后电子在磁场中的半径．电子在电场中加速时，由牛顿第二定律和运动学公式结合得到时间；在磁场中，根据轨迹对应的圆心角，求解时间，再求解时间之比；②根据第一个电子离开磁场时，得到第二个电子的圆心角，由几何知识求解其位置坐标．

解答 解析：（1）设加速电压为U，电子经电场加速后速度为v，由动能定理得：
eU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$      
又有 evB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
r=$\frac{R}{2}$     
联立以上各式解得：U=$\frac{e{B}^{2}{R}^{2}}{8m}$
（2）电压增加为原来4倍，则有电子在磁场中的半径为：r′=2r=R
设电子在电场中运动时间为t₁，加速度为a，则有：
E=$\frac{4U}{d}$
eE=ma
设间距为d，有：d=$\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}$
解得：t₁=$\frac{πm}{6eB}$
电子在磁场中运动总时间为t₂，则有：
T=$\frac{2πm}{eB}$
t₂=$\frac{1}{6}$T
解得：t₂=$\frac{πm}{3eB}$
即   t₂=2t₁
此可知：第一个电子离开磁场时，第二个电子的圆心角为30⁰，如图中的Q点：
Q_x=R-Rcoa30°=$\frac{2-\sqrt{3}}{2}R$
Q_y=Rsin30°=$\frac{1}{2}$R
因此Q点的坐标为：（$\frac{2-\sqrt{3}}{2}R$，$\frac{1}{2}R$）
答：（1）若电子在磁场中运动一段时间后刚好从磁场的最右边缘处返回到x轴上，求加在电容器两极板间的电压为$\frac{e{B}^{2}{R}^{2}}{8m}$．
（2）将两极板间的电压增大到第（1）问中电压的4倍，先在P处释放第一个电子，在这个电子刚到达O点时释放第二个电子，求第一个电子离开磁场时，第二个电子的位置坐标为（$\frac{2-\sqrt{3}}{2}R$，$\frac{1}{2}R$）．

点评 本题是带电粒子在组合场中运动的问题，粒子在磁场中做匀速圆周运动，要求同学们能画出粒子运动的轨迹，能根据半径公式，周期公式结合几何关系求解．