Question

4．如图所示，质量为5.0kg的小车以2.0m/s的速度在光滑的水平面上向左运动，小车上AD部分是表面粗糙的水平轨道，DC部分是$\frac{1}{4}$光滑圆弧轨道，整个轨道都是由绝缘材料制成的，小车所在空间内有竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，电场强度大小E为50N/C，磁感应强度大小B为2.0T．现有一质量为2.0kg、带负电且电荷量为0.10C的滑块以10m/s向右滑入小车，当滑块运动到D点时相对地面的速度为5m/s，计算结果保留两位有效数字，求：
（1）滑块从A到D的过程中，小车、滑块组成的系统损失的机械能．
（2）如果滑块刚过D点时对轨道的压力为76N，求圆弧轨道的半径r．
（3）当滑块通过D点时，立即撤去磁场，要使滑块不冲出圆弧轨道，求此圆弧的最大半径．

Answer 1

分析 （1）滑块从A到D的过程中，小车、滑块系统水平方向不受外力，水平方向动量守恒，可求出滑块到达D点时车的速度，系统损失的机械能等于系统动能的减小．
（2）滑块通过D时受到重力、支持力、电场力和洛伦兹力，沿半径方向的合力提供向心力，根据牛顿第三定律说明压力大小等于支持力大小，然后写出动力学方程即可求出轨道半径；
（3）要使滑块不冲出圆弧轨道，滑块沿圆弧轨道上升到最大高度时，滑块与小车具有共同速度v，根据动量守恒定律和能量的转化与守恒定律求得结果．

解答 解：（1）设滑块运动到D点时的速度大小为v₁，小车在此时的速度大小为v₂，
滑块从A运动到D的过程中系统动量守恒，以向右为正方向，有：mv₀-Mv=mv₁+Mv₂
代入数据解得v₂=0
则小车跟滑块组成的系统的初机械能${E}_{1}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+\frac{1}{2}M{v}_{1}^{2}$
小车跟滑块组成的系统的末机械能${E}_{2}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+0$
代入数据解得：E₁=110J，E₂=25J
小车与滑块组成的系统损失的机械能△E=E₁-E₂
代入数据解得：△E=85J
（2）设滑块刚过D点时，受到轨道的支持力为N，则由牛顿第三定律可得N=76N
由牛顿第二定律可得$N-（mg+qE+Bq{v}_{1}）=m\frac{{v}^{2}}{r}$
代入数据解得：r=1m
（3）设滑块沿圆弧轨道上升到最大高度时，滑块与小车具有共同的速度v₃
则由动量守恒定律可得mv₁=（M+m）v₃
代入数据解得：${v}_{3}=\frac{10}{7}m/s$
设圆弧轨道的最大半径为R
则由能量守恒关系，有：$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}=\frac{1}{2}（M+m）{v}_{3}^{2}+（qE+mg）R$
代入数据解得：R=0.71m
答：（1）滑块从A到D的过程中，小车、滑块组成的系统损失的机械能为85J；
（2）如果滑块刚过D点时对轨道的压力为76N，圆弧轨道的半径为1m；
（3）当滑块通过D点时，立即撤去磁场，要使滑块不冲出圆弧轨道，此圆弧的最大半径为0.71m．

点评 本题是系统动量守恒和能量守恒的类型，寻找解题规律是关键．容易出错的地方，是不认真分析滑块运动过程，认为滑块刚到达D时车的速度就最大．
对于计算轨道半径问题比较中规中矩，牢记指向圆心的合外力大小等于跟速度有关的向心力公式便可．
上升到最大高度需要思考什么时候最大高度，即竖直方向的速度为0，而物块不能离开小车，即滑块与小车的水平方向相同从而进行解题．整体题目算经典的曲面小车问题放在复合场中的处理．