Question

过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径R₁=2.0m、R₂=1.4m。一个质量为m=1.0kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以v₀=12.0m/s的初速度沿轨道向右运动，A、B间距L₁=6.0m。小球与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠。重力加速度g=10m/s²，计算结果保留小数点后一位数字。试求

   （1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；

   （2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距应是多少；

   （3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径应满足的条件；小球最终停留点与起点A的距离。

Answer 1

（1）10.0N；（2）12.5m(3) 当时，；当时，

解析:

（1）设小于经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v₁根据动能定理

      ①

   小球在最高点受到重力mg和轨道对它的作用力F，根据牛顿第二定律

                                       ②

由①②得                                   ③

（2）设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v₂，由题意

                                           ④

          ⑤

由④⑤得                                    ⑥

（3）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：

I．轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v₃，应满足

                                            ⑦

                 ⑧

由⑥⑦⑧得           

II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R₃，根据动能定理

                

解得                  

为了保证圆轨道不重叠，R₃最大值应满足

               

解得               R₃=27.9m

综合I、II，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件

               

或              

当时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L′，则

               

                 

当时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L〞，则

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正确答案：（1）10.0N；（2）12.5m(3) 当时， ；当时，

此题第一问考查了圆周运动中基本规律，第二问考查了圆周运动的临界情况，第三问考查了在圆周运动中过最高点的问题。