Question

过山车是游乐场中常见的没施．图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的两个圆形轨道组成，C、D分别是两个圆形轨道的最低点，A、C间距与C、D问距相等，半径R₁=1.4m．一个质量为m=1.0kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以v0=2

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m/s的初速度沿轨道向右运动．小球与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2，圆形轨道是光滑的．假设水平轨道足够长，圆形轨道问不相互重叠．重力加速度取g=10m/s²，计算结果保留小数点后一位数字．试求：
（1）如果小球恰能通过第一个圆形轨道，A、C间距L应是多少；
（2）在满足（1）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第二个圆形轨道的设计中，半径R₂应满足的条件．

Answer 1

分析：（1）小球恰能通过第一圆形轨道时，在轨道的最高点时由重力提供向心力，根据牛顿第二定律可求出小球经过最高点时的速度．对于小球从A点到第一圆形轨道最高点过程，运用动能定理列式，求解AB间距L₁．
（2）要保证小球不脱离轨道，有两种情况：
I．轨道半径较小时，小球恰能通过第二个圆轨道，与上题相似，根据牛顿第二定律求出小球通过最高点时的速度，根据动能定理求解半径R₂．
II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度等于R₂，即上升到与圆心等高处，根据动能定理求解半径R₂．
为保证圆形轨道间不相互重叠，根据几何知识知：R₂最大值应满足（R1+R2）2=L²+（R1-R2）2，解得R₂．即可得到半径R₂的可变范围；

解答：解：（1）设小球恰能通过第一个圆轨道的最高点时速度为v₁，根据动能定理
-μmgL-2mgR₁=

1

2

mv12-

1

2

mv02 ①
最高点时：mg=m

v12

R1

  ②
由①②得：L=12.5m ③
（2）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：
I．轨道半径较小时，小球恰能通过第二个圆轨道，设在最高点的速度为v₂，应满足
      mg=m

v22

R2

 ④
-μmg2L-2mgR₂=

1

2

mv22-

1

2

mv02 ⑤
由③④⑤得：R₂=0.4m   ⑥
II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R₂′，即上升到与圆心等高的位置，
根据动能定理得
-μmg（L₁+L）-mgR₂′=0-

1

2

mv02
解得：R₂′=1.0m   ⑦
为了保证圆轨道不重叠，R₂最大值应满足(R1+R2′)2=L²+（(R2′-R1′)2
解得 R₂=27.9m    ⑧
综合I、II，要使小球不脱离轨道，则第二个圆轨道的半径须满足下面的条件
  0＜R₂≤0.4m 或   1.0m≤R₂≤27.9m             
答：（1）如果小球恰能通过第一圆形轨道，AB间距L₁应是12.5m；
（2）在满足（1）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第二个圆形轨道的设计中，半径R₂的可变范围为 0＜R₂≤0.4m 或 1.0m≤R₂≤27.9m；

点评：选取研究过程，运用动能定理解题．动能定理的优点在于适用任何运动包括曲线运动．知道小球恰能通过圆形轨道的含义以及要使小球不能脱离轨道的含义．