题目内容
过山车是游乐场中常见的设施．下图是一种过山车部分轨道的简易模型，它由θ=45°的倾斜轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道及水平轨道组成．A是倾斜轨道的最高点，其最低点与B平滑相连，且弯道部分长度忽略不计，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径R1=15.0m、R2=12.0m．一个质量为m=500kg的车厢（视为质点），从倾斜轨道的最高点A点由静止开始滑下，A、B的高度差H=60m．车厢与倾斜及水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2，圆形轨道是光滑的．假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠．取g=10m/s2，求：
（1）车厢在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对车厢作用力的大小；
（2）如果车厢恰能通过第二个圆形轨道，B、C间距L应是多少？
（3）在满足（2）的条件下，要使车厢能安全通过第三个圆形轨道的最高点，半径R3应满足什么条件？
（1）车厢在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对车厢作用力的大小；
（2）如果车厢恰能通过第二个圆形轨道，B、C间距L应是多少？
（3）在满足（2）的条件下，要使车厢能安全通过第三个圆形轨道的最高点，半径R3应满足什么条件？
分析：（1）对从初位置到第一圆轨道最高点过程运用动能定理列式，第一圆轨道最高点支持力和重力的合力提供向心力，联立求解即可；
（2）对从初位置到第二圆轨道最高点过程运用动能定理列式，第二圆轨道最高点重力提供向心力，联立求解即可；
（3）对从初位置到第三圆轨道最高点过程运用动能定理列式，第三圆轨道最高点重力提供向心力，联立求解出最小半径即可．
（2）对从初位置到第二圆轨道最高点过程运用动能定理列式，第二圆轨道最高点重力提供向心力，联立求解即可；
（3）对从初位置到第三圆轨道最高点过程运用动能定理列式，第三圆轨道最高点重力提供向心力，联立求解出最小半径即可．
解答：解：（1）车厢从A滑到B过程，根据动能定理，有：
mg(H-2R1)-μmgcosθ?
=m
车厢经过第一个圆轨道的最高点时速度为v1，重力和支持力的合力提供向心力，有：
F+mg=m
联立解得：F=7×103N
（2）车厢在第二个圆轨道的最高点的速度为v2，重力提供向心力，有：
mg=m
对从初位置到第二圆轨道最高点过程运用动能定理，得到：
mg（H-2R2）-μmgcosθ?
-μmgL=m
联立解得：L=90m
（3）车厢安全通过第三个圆形轨道的最高点时对应最大半径应满足
mg=m
对从初位置到第三圆轨道最高点过程运用动能定理，有：
mg（H-2R3）-μmgcosθ?
-2μmgL=m
联立解得：R3=4.8m；
答：（1）车厢在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对车厢作用力的大小为7×103N；
（2）如果车厢恰能通过第二个圆形轨道，B、C间距L应是90m；
（3）要使车厢能安全通过第三个圆形轨道的最高点，半径应满足条件是R≤4.8m．
mg(H-2R1)-μmgcosθ?
| H |
| sinθ |
| ||
| R1 |
车厢经过第一个圆轨道的最高点时速度为v1，重力和支持力的合力提供向心力，有：
F+mg=m
| ||
| R1 |
联立解得：F=7×103N
（2）车厢在第二个圆轨道的最高点的速度为v2，重力提供向心力，有：
mg=m
| ||
| R2 |
对从初位置到第二圆轨道最高点过程运用动能定理，得到：
mg（H-2R2）-μmgcosθ?
| H |
| sinθ |
| ||
| R2 |
联立解得：L=90m
（3）车厢安全通过第三个圆形轨道的最高点时对应最大半径应满足
mg=m
| ||
| R3 |
对从初位置到第三圆轨道最高点过程运用动能定理，有：
mg（H-2R3）-μmgcosθ?
| H |
| sinθ |
| ||
| R3 |
联立解得：R3=4.8m；
答：（1）车厢在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对车厢作用力的大小为7×103N；
（2）如果车厢恰能通过第二个圆形轨道，B、C间距L应是90m；
（3）要使车厢能安全通过第三个圆形轨道的最高点，半径应满足条件是R≤4.8m．
点评：本题关键灵活地选择过程运用动能定理列式，同时明确要完成的圆周运动，临界条件是通过最高点时弹力为零．
练习册系列答案
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