题目内容
如图所示，竖直平面内的 3/4 圆弧形光滑轨道半径为 R，A 端与圆心 O 等高，AD 为水平面，B 点为光滑轨道的最高点且在O 的正上方，一个小球在 A 点正上方某处由静止释放，自由下落至 A 点进入圆轨道并知通过 B 点时受到轨道的弹力为mg（从A点进入圆轨道时无机械能损失），最后落到水平面 C 点处．求：（1）释放点距 A 点的竖直高度 h和落点 C 到 A 点的水平距离X
（2）如果将小球由h=R处静止释放，请问小球能否通过最高点B点，如果不能通过，请求出脱离圆轨道的位置E与O的连线与竖直方向夹角的正弦值．
【答案】分析：本题（1）的关键是小球在B点时列出牛顿第二定律方程，再结合动能定理和平抛规律即可求解．
（2）的关键是先假设小球能到最高点，根据牛顿第二定律求出到达最高点的最小速度为
，与动能定理矛盾，说明不能到达最高点，然后设出E与O点连线的夹角，再根据动能定理和脱离轨道时牛顿第二定律即可求解．
解答：解：（1）小球通过最高点B时，由牛顿第二定律，有：
mg+
=
，又
=mg，解得
=
设释放点到A点高度为h，小球从释放到运动至B点的过程中，
根据动能定理，有：mg（h-R）=
m
联立①②解得 h=2R，
由平抛规律R=
，X=
t，联立解得x=2R，所以C点距A点距离△x=2R-R=R
即释放点距A点的竖直高度h为2R，落点C到A点的水平距离为R．
（2）小球到达B点时最小速度为v，有mg=
，
若能到达最高点应满足mgR=
+mgR，显然不可能成立，即不能到最高点．
设到最高点E的速度为
，E与O的连线与竖直方向夹角θ，由动能定理有mgR（1-cosθ）=
①，
在E点脱离轨道时有mgcosθ=
②
联立①②解得cosθ=
，所以sinθ=
=
即小球不能通过最高点E，小球脱离圆轨道的位置E与O的连线与竖直方向夹角的正弦值
．
点评：小球在内侧轨道到达最高点时的最小速度应满足mg=
，脱离轨道时应满足mgcosθ=
，小球运动过程可利用动能定理或机械能守恒定律列式求解，小球平抛运动则利用平抛规律求解．
（2）的关键是先假设小球能到最高点，根据牛顿第二定律求出到达最高点的最小速度为
，与动能定理矛盾，说明不能到达最高点，然后设出E与O点连线的夹角，再根据动能定理和脱离轨道时牛顿第二定律即可求解．解答：解：（1）小球通过最高点B时，由牛顿第二定律，有：
mg+
=，又=mg，解得=设释放点到A点高度为h，小球从释放到运动至B点的过程中，
根据动能定理，有：mg（h-R）=
m联立①②解得 h=2R，
由平抛规律R=
，X=t，联立解得x=2R，所以C点距A点距离△x=2R-R=R即释放点距A点的竖直高度h为2R，落点C到A点的水平距离为R．
（2）小球到达B点时最小速度为v，有mg=
，若能到达最高点应满足mgR=
+mgR，显然不可能成立，即不能到最高点．设到最高点E的速度为
，E与O的连线与竖直方向夹角θ，由动能定理有mgR（1-cosθ）=①，在E点脱离轨道时有mgcosθ=
②联立①②解得cosθ=
，所以sinθ==即小球不能通过最高点E，小球脱离圆轨道的位置E与O的连线与竖直方向夹角的正弦值
．点评：小球在内侧轨道到达最高点时的最小速度应满足mg=
，脱离轨道时应满足mgcosθ=，小球运动过程可利用动能定理或机械能守恒定律列式求解，小球平抛运动则利用平抛规律求解． 
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| ||
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|
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