Question

3．如图所示，空间中存在一水平方向的匀强电场和一水平方向的匀强磁场，且电场方向和磁场方向相互垂直．在正交的电、磁场空间中有一足够长的固定粗糙绝缘杆，与电场正方向成60°夹角且处于竖直平面内．一质量为m，带电量为q（q＞0）的小球套在绝缘杆上，初始时刻，给小球一沿杆向下的初速度v₀，已知磁感应强度大小为B，电场强度大小为E=$\frac{\sqrt{3}mg}{q}$，重力加速度大小为g，小球电荷量保持不变，则以下说法正确的是（　　）

• A． 若小球的初速度为$\frac{mg}{qB}$，则运动中克服摩擦力做功为$\frac{3{m}^{3}{g}^{2}}{2{q}^{2}{B}^{2}}$
• B． 若小球的初速度为$\frac{mg}{qB}$，则运动中克服摩擦力做功为$\frac{{m}^{3}{g}^{2}}{2{q}^{2}{B}^{2}}$
• C． 若小球的初速度为$\frac{3mg}{qB}$，则运动中克服摩擦力做功为$\frac{5{m}^{3}{g}^{2}}{2{q}^{2}{B}^{2}}$
• D． 若小球的初速度为$\frac{3mg}{qB}$，则运动中克服摩擦力做功为$\frac{9{m}^{3}{g}^{2}}{2{q}^{2}{B}^{2}}$

Answer 1

分析 小球受重力、摩擦力（可能有）、弹力（可能有）、向右上方的洛伦兹力、向左的电场力，当受到的合外力等于0时，小球做匀速直线运动．当小球受到的合外力不为0时，要判断出支持力的方向，明确支持力的大小随洛伦兹力的变化关系，然后做出判定．

解答 解：对小球进行受力分析，如图：

电场力的大小：F=qE=$q×\frac{\sqrt{3}mg}{q}$，由于重力的方向竖直向下．电场力的方向水平向右，二者垂直，合力：
${F}_{合}=\sqrt{{F}^{2}+（mg）^{2}}$，由几何关系可知，重力与电场力的合力与杆的方向垂直，所以重力与电场力的合力不会对小球做功，而洛伦兹力的方向与速度的方向垂直，所以也不会对小球做功．所以，当小球做匀速直线运动时，不可能存在摩擦力，没有摩擦力，说明小球与杆之间就没有支持力的作用，则洛伦兹力大小与重力、电场力的合力相等，方向相反．所以qv₀B=2mg．
所以v₀=$\frac{2mg}{qB}$
AB、若小球的初速度为$\frac{mg}{qB}$，洛仑兹力小于重力与电场力的合力，小球做加速度增加的减速运动，最后静止，故克服摩擦力做功为：${W}_{f}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}×m×（{\frac{mg}{qB}）}^{2}=\frac{{m}^{3}{g}^{2}}{2{q}^{2}{B}^{2}}$，故A错误，B正确；
CD、若小球的初速度为$\frac{3mg}{qB}$，洛仑兹力大于重力与电场力的合力，小球做加速度减小的减速运动，最后以速度v₀=$\frac{2mg}{qB}$做匀速直线运动，故克服摩擦力做功为：
${W}_{f}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}m（\frac{3mg}{qB}）^{2}-\frac{1}{2}m（\frac{2mg}{qB}）^{2}$=$\frac{5{m}^{3}{g}^{2}}{2{q}^{2}{B}^{2}}$，故C正确，D错误；
故选：BC

点评 本题考查小球在混合场中的运动，解答的关键明确小球的受力情况，并能够结合受力的情况分析小球的运动情况，要知道小球何时做加速度减小的减速运动，何时做加速度增大的减速运动，当加速度减为零时，做匀速运动．