Question

15．如图所示，位于竖直平面上的$\frac{1}{4}$光滑圆弧轨道，半径为R，OB竖直，上端A距地面高度为H，质量为m的小球从A点由静止释放，最后落在地面上C点处，不计空气阻力，重力加速度为g，求：
（1）小球运动到B点时速度的大小；
（2）小球落地点C与B点水平距离x；
（3）保持A距地面高度为H不变，改变R的大小，当R为多少时，小球落地点C与B点水平距离x最大？该水平距离最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）小球由A→B过程中，只有重力做功，根据机械能守恒定律及向心力公式列式求解；
（2）小球从B点抛出后做平抛运动，根据平抛运动的位移公式求解；
（3）利用数学知识分析水平位移的表达式即可求解．

解答 解：（1）根据机械能守恒得：mgR=$\frac{1}{2}$mv_B²
解得：v_B=$\sqrt{2gR}$，
根据牛顿第二定律得：N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，
解得：N=mg+m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$=3mg．
（2）根据H-R=$\frac{1}{2}$gt²得：t=$\sqrt{\frac{2（H-R）}{g}}$，
则水平位移为：x=v_Bt=$\sqrt{2gR}$$\sqrt{\frac{2（H_R）}{g}}$=2$\sqrt{（H-R）R}$．
（3）由（2）所求可知：
水平距离：x=2$\sqrt{（H-R）R}$=2$\sqrt{-（R-\frac{H}{2}）^{2}+\frac{{H}^{2}}{4}}$
所以，当R=$\frac{H}{2}$时，水平距离最大为：s_m=H．
答：（1）小球刚运动到B点时，轨道对它的支持力为3mg；
（2）小球落地点C与B点水平距离x为2$\sqrt{（H-R）R}$．
（3）当R=$\frac{H}{2}$时，水平距离最大为H．

点评 本题考查了圆周运动和平抛运动的综合，知道圆周运动向心力的来源和平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律是解决本题的关键