Question

真空中有如图装置，水平放置的金属板A、B中间开有小孔，小孔的连线沿竖直放置的金属板C、D的中间线，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（初速不计、重力不计）P进入A、B间被加速后，再进入金属板C、D间的偏转电场偏转，并恰能从D板下边缘射出．已知金属板A、B间电势差为U_AB=+U₀，C、D板长度均为L，C、D板间距为

3

3

L．在金属板C、D下方有如图l所示的、有上边界的、范围足够大的匀强磁场，该磁场上边界与金属板C、D下端重合，其磁感应强度随时间变化的图象如图，图中的B₀为已知，但其变化周期T未知，忽略偏转电场的边界效应．
（1）求金属板C、D间的电势差U_CD；
（2）求粒子刚进入磁场时的速度；
（3）已知垂直纸面向里的磁场方向为正方向，该粒子在图2中t=

3

4

T0时刻进入磁场，并在t=T₀时刻的速度方向恰好水平，求该粒子从射入磁场到离开磁场的总时间t_总．

Answer 1

分析：（1）设粒子进入偏转电场瞬间的速度为v₀，对粒子加速过程由动能定理可以求得v₀，进入偏转电场中，做类平抛运动，根据平抛运动的基本公式及几何关系列式即可求解C、D间的电势差U_CD；
（2）设粒子进入磁场时的速度为v，对粒子的偏转过程运用动能定理列式求出速度v大小，再结合几何关系求出粒子由k点离开电场时偏转角为θ；
（3）画出粒子在磁场中做圆周运动轨迹，分析粒子运动情况，求出粒子每个过程的运动时间，进而求出总时间．

解答：解：（1）设粒子进入偏转电场瞬间的速度为v₀，对粒子加速过程由动能定理：
qU0=

1

2

m

v

2 0

解得  v0=

2qU0 m

进入偏转电场中，水平位移        x=

1

2

at2
其中加速度：a=

qUCD

md

（式中d=

3

3

L）          
竖直位移与时间关系：L=v₀t
又依题意“恰能从D板下边缘射出”：x=

3

6

L
解得：UCD=

2

3

U0
（2）设粒子进入磁场时的速度为v，对粒子的偏转过程有
q?

UCD

2

=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

解得：v=

8qU0 3m

设粒子由k点离开电场时偏转角为θ，则cosθ=

v0

v

=

3

2

或者tanθ=

3 L 6

L 2

或者tanθ=

vx

v0

=

1

3

解得      θ=30°
（3）粒子在磁场中做圆周运动轨迹如图所示，周期为：T =

2πm

qB0

粒子从k进入磁场沿逆时针方向运动，由“并在t=T₀时刻的速度方向恰好水平”知，轨迹对应的圆心角为?=60°，此过程对应的运动时间为t1=

T

6

，到达了e点；接着磁场反向，在t2=

T

2

内粒子沿顺时针方向运动半周到达f点；此时磁场再反向，粒子在t3=

T

6

内沿逆时针方向运动到g点；接着在t4=

T

2

内运动到h点；再接着在t5=

T

6

内运动到i点；最后经t6=

T

6

离开磁场．
则该粒子从射入磁场到离开磁场的总时间为t总=t1+t2+t3+t4+t5+t6=

5T

3

即 t总=

10πm

3qB0

答：（1）金属板C、D间的电势差U_CD为

2

3

U0；
（2）粒子刚进入磁场时的速度大小为

8qU0 3m

，方向与D板的夹角为30°；
（3）该粒子从射入磁场到离开磁场的总时间t_总为

10πm

3qB0

．

点评：本题主要考查了动能定理、平抛运动的基本公式的直接应用，要求同学们能够正确分析粒子的运动情况，难度适中．