Question

3．如图所示为放置在竖直平面内游戏滑轨的模拟装置，滑轨由四部分粗细均匀的金属杆组成，其中倾斜直轨AB与水平直轨CD长均为L=3m，圆弧形轨道APD和BQC均光滑，BQC的半径为r=1m，APD的半径为R，AB、CD与两圆弧形轨道相切，O₂A、O₁B与竖直方向的夹角均为θ=37°．现有一质量为m=1kg的小球穿在滑轨上，以E_k0的初动能从B点开始沿AB向上运动，小球与两段直轨道间的动摩擦因数均为μ=$\frac{1}{3}$，设小球经过轨道连接处均无能量损失．（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，sin18.5°=0.32，cos18.5°=0.95，tan18.5°=$\frac{1}{3}$，cot18.5°=3）求：
（1）要使小球完成一周运动回到B点，初动能E_K0至少多大？
（2）小球第二次到达D点时的动能；
（3）小球在CD段上运动的总路程．

Answer 1

分析 （1）要使小球能够向上运动并回到B点，有两个临界条件的要求：一是要使小球能够通过圆弧APD的最高点，二是通过了圆弧APD的最高点后还能够再次到达B点．根据能量守恒分别求出小球恰好通过圆弧APD的最高点以及恰好到达B点时的初动能，比较两种情况下的初动能，从而得出初动能E_K0的最小值．
（2）根据动能定理求出小球从B点出发又回到B点时的动能，根据动能定理判断其能上升的最大高度，若不能上滑到最高点，由于重力的分力大于滑动摩擦力，小球会下滑，求出小球在AB杆上摩擦产生的热量．根据能量守恒求出第二次经过D点的动能．
（3）通过第二问解答知小球能够第二次到达D点，根据能量守恒定律讨论小球能否第二次通过D点返回后上升到B点，从而确定小球的运动情况，最后根据动能定理求出小球在CD段上运动的总路程．

解答 解：（1）由几何关系可知：R=Ltan18.5°+r=2m                          
根据动能定理得：E_k0=mgR（1-cosθ）+mgLsinθ+μmgLcosθ             
代入数据解得：E_k0=30J                           
（2）小球第一次回到B点时的动能为：
E_kB=mg•2R-mgr（1+cosθ）-μmgL=12J，
小球沿AB向上运动到最高点，距离B点为s，则有：E_kB=μmgscosθ+mgssinθ，
代入数据解得：s=$\frac{18}{13}$m=1.38m；
小球继续向下运动，当小球第二次到达D点时动能为：E_KD=mgr（1+cosθ）+mgssinθ-μmgscosθ-mgLcosθ=10（1+0.6）+10×1.38×0.8-$\frac{1}{3}$×10×0.8-10×3×0.8=12.6J       
（3）小球第二次到D点后还剩12.6J的能量，沿DP弧上升后再返回DC段，
到C点只剩下2.6J的能量．因此小球无法继续上升到B点，滑到BQC某处后开始下滑，
之后受摩擦力作用，小球最终停在CD上的某点．
由动能定理：E_kD=μmgs₁
可得小球在CD上所通过的路程为：s=3.78m         
小球通过CD段的总路程为：S_总=2L+s=2×3+1.38=9.78m            
答：（1）要使小球能够通过弧形轨道APD的最高点，初动能E_K0至少为30J；
（2）小球第二次到达D点时的动能12.6J；
（3）小球在CD段上运动的总路程为9.78m．

点评 本题过程较复杂，关键是理清过程，搞清运动规律，合适地选择研究的过程，运用动能定理和能量守恒定律进行解题．