Question

2．如图，水平地面上方有一底部带有小孔的绝缘弹性竖直档板，板高h=9m，与板等高处有一水平放置的篮筐，筐口的中心离挡板s=3m．板的左侧以及板上端与筐口的连线上方存在匀强磁场和匀强电场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度B=1T；质量m=1×10^-3kg、电量q=-1×10^-3C、直径略小于小孔宽度的带电小球（视为质点），以某一速度水平射入场中做匀速圆周运动，若与档板相碰就以原速率弹回，且碰撞时间不计，碰撞时电量不变，小球最后都能从筐口的中心处落入筐中，g=10m/s²，求：
（1）电场强度的大小与方向；
（2）小球运动的最大速率；
（3）小球运动的最小速率．

Answer 1

分析 （1）小球做匀速圆周运动，故电场力与重力平衡，根据平衡条件列式求解；
（2）洛伦兹力提供向心力，故半径越大，速度越大，当小球不与挡板相碰直接飞入框中，其运动半径最大，根据几何关系求解出半径，然后求解最大速度；
（3）要求最长时间，需求最大圆心角，画出轨迹，根据几何关系得到半径的可能值，然后求解最长时间

解答 解：（1）因小球能做匀速圆周运动，所以有：Eq=mg
解得：E=$\frac{mg}{q}$=$\frac{1×1{0}^{-3}×10}{1×1{0}^{-3}}$N/C=10N/C
方向竖直向下
（2）小球做匀速圆周运动，由洛仑兹力提供向心力，有：
  qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
且 T=$\frac{2πR}{v}$得：T=2π≈6.28s

小球不与挡板相碰直接飞入框中，其运动半径最大，如图1所示，由几何知识可得：
（h-R_m）²+s²=R_m²
求得：最大半径 R_m=5m    
则最大速率 v_m=$\frac{qB{R}_{m}}{m}$=5m/s
（3）因为速度方向与半径方向垂直，圆心必在档板的竖直线上  
 R≥s=3m
设小球与档板碰撞n次，其最大半径为 要击中目标必有：$\frac{h}{2n}$≥3，
h=9m，代入解得 n≤1.5
n只能取0，1
当n=0，即为（2）问中的解
当n=1，时可得：
（h-3R）²+s²=R²
（9-3R）²+3²=R²
解得：R₁=3m，R₂=3.75m
R₁=3m时半径最小，其运动轨迹如图2中的轨迹①所示，有：
 qv_minB=m$\frac{{v}_{min}^{2}}{{R}_{1}}$
可得最小速率 v_min=$\frac{qB{R}_{1}}{m}$=3m/s
答：
（1）电场强度的大小为10N/C，方向为竖直向下；
（2）小球运动的最大速率为5m/s；
（3）小球运动的最小速率为3m/s．

点评 本题关键明确小球的运动规律，找到向心力来源，画出轨迹，然后根据几何关系求解半径，再联立方程组求解