Question

11．假设在一自转不计半径为R的星球表面上，宇航员从高h（远小于R）处将一小球以初速度v₀水平抛出，结果测得小球的水平射程恰好也等于h，求：
（1）小球水平抛出到落地所花的时间t；
（2）该星球表面的重力加速度g；
（3）从星球表面发射卫星的第一宇宙速度v₁．

Answer 1

分析 （1）小球做平抛运动，由平抛运动规律可以求出小球的运动时间．
（2）应用平抛运动规律可以求出星球的重力加速度．
（3）万有引力提供向心力，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以求出第一宇宙速度．

解答 解：小球做平抛运动：
（1）在水平方向，小球做匀速直线运动，运动时间为：t=$\frac{h}{{v}_{0}}$；
（2）在竖直方向做自由落体运动，有：h=$\frac{1}{2}$gt²，
解得：g=$\frac{2{v}_{0}^{2}}{h}$；
（3）由牛顿第二定律得：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，
G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g，
解得：v₁=$\sqrt{\frac{2R}{h}}$v₀；
答：（1）小球水平抛出到落地所花的时间为$\frac{h}{{v}_{0}}$；
（2）该星球表面的重力加速度g为$\frac{2{v}_{0}^{2}}{h}$．
（3）从星球表面发射卫星的第一宇宙速度v₁为$\sqrt{\frac{2R}{h}}$v₀．

点评 本题是万有引力定律应用与平抛运动相结合的综合题，应用平抛运动规律、万有引力公式与牛顿第二定律可以解题，解题时注意黄金代换的应用．