Question

11．天文学中把两颗距离比较近，又与其它星体距离比较远的星体叫做双星，双星的间距是一定的．设双星质量分别是m₁、m₂，球心间距为L．则质量为m₁星体的运行的周期是$2π\sqrt{\frac{{L}^{3}}{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}}$，速度是${m_2}\sqrt{\frac{G}{{（{m_1}+{m_2}）{L^\;}}}}$．

Answer 1

分析 双星靠相互间的万有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出轨道半径之比，进一步计算轨道半径大小；据万有引力提供向心力计算出周期；最后根据v=$\frac{2πr}{T}$求解线速度．

解答 解：设双星中质量为m₁的天体轨道半径为r₁，质量为m₂的天体轨道半径为r₂
据万有引力定律和牛顿第二定律，得：
$\frac{{G{m_1}{m_2}}}{L^2}={m_1}{ω^2}{r_1}$…①
$\frac{{G{m_1}{m_2}}}{L^2}={m_2}{ω^2}{r_2}$…②
r₁+r₂=L…③
由①②③联立解得：
${r_1}=\frac{{{m_2}L}}{{{m_1}+{m_2}}}$，
${r_2}=\frac{{{m_1}L}}{{{m_1}+{m_2}}}$，
再由：$\frac{{G{m_1}{m_2}}}{L^2}={m_1}{（\frac{2π}{T}）^2}{r_1}$，得：
运行的周期：T=$2π\sqrt{\frac{L^3}{{G（{m_1}+{m_2}）}}}$
质量为m₁星体的线速度：${v}_{1}=\frac{2π{r}_{1}}{T}$=$\frac{{2π\frac{{{m_2}L}}{{{m_1}+{m_2}}}}}{{2π\sqrt{\frac{L^3}{{G（{m_1}+{m_2}）}}}}}={m_2}\sqrt{\frac{G}{{（{m_1}+{m_2}）{L^\;}}}}$
故答案为：$2π\sqrt{\frac{{L}^{3}}{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}}$，${m_2}\sqrt{\frac{G}{{（{m_1}+{m_2}）{L^\;}}}}$．

点评 解决本题的关键掌握双星模型系统，知道它们靠相互间的万有引力提供向心力，向心力的大小相等，角速度的大小相等．