Question

3．我国“神舟十号”飞船已于2013年6月11日17时38分成功发射，并与“天宫一号”目标飞行器成功交会对接，飞行乘组由3名航天员组成，假设“神舟十号”在飞行的过程中绕地球做圆周运动，已知地球的半径为R，地球的表面的重力加速度为g，飞船绕地球运行的周期为T．求：
（1）飞船离地面的高度h；
（2）如图所示，卫星A与“神舟十号”B在同一轨道平面，已知卫星A的运行方向与B相同，A的轨道为B的轨道的2倍，某时刻A、B相距最近，则至少经过多长时间它们再一次相距最近？

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力，以及万有引力等于重力求出飞船离地面的高度h．
某时刻两卫星正好同时通过地面上同一点的正上方，当两颗卫星转动角度相差2π时，即A比B多转一圈，相距最近．

解答 解：（1）根据万有引力等于重力得，$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
解得GM=gR²．
根据万有引力提供向心力得，$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+h）$
解得h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$
（2）根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，得$T=2π\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$
所以$\frac{{T}_{A}}{{T}_{B}}=\sqrt{（\frac{{r}_{A}}{{r}_{B}}）^{3}}=\sqrt{（\frac{2}{1}）^{3}}$
故${T}_{A}=2\sqrt{2}T$
至少经过时间t它们再一次相距最近，此时A比B多转一圈，
即 $\frac{t}{{T}_{B}}-\frac{t}{{T}_{A}}$=1
即$（\frac{1}{T}-\frac{1}{2\sqrt{2}T}）t=1$
解得：t=$\frac{8-2\sqrt{2}}{7}T$
答：（1）飞船离地面的高度h为$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$；
（2）至少经过$\frac{8-2\sqrt{2}}{7}T$它们再一次相距最近．

点评 本题既可应用万有引力提供向心力求解，也可应用开普勒行星运动定律求解，以后者较为方便，两卫星何时相距最远的求解，用到的数学变换相对较多，增加了本题难度．